Очень многие факты в геометрии, алгебре и комбинаторике, доказанные Эйлером, в том числе и задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, часто предлагаются в математических олимпиадах, но в школьной программе не отводятся часы на изучение данной темы. Актуальность работы состоит в том, что задачи имеют практический характер. Задачи развивают логическое мышление, заставляют задумываться, подходить к решению какой либо проблемы с разных сторон, выбирать из множества способов решения наиболее простой, легкий путь.

Знакомство с новым методом решения задач и изучение материала, применяемого на уроках математики и внеурочных занятиях, где можно использовать круги Эйлера как один из приемов решения задач.

- Изучить биографию одного из величаи ̆ ших ученых-математиков Леонарда Эи ̆ лера; - Изучить теоретические основы понятия «Круги Эйлера»; - Решить задачи вышеназванным методом; - Составить подборку материала для использования учениками и учителями на уроках математики и внеурочных занятиях.

Применение кругов Эйлера повышает наглядность при решении задач.

понятие «Круги Эйлера», задачи школьного курса математики и задачи математических олимпиад.

Изучение литературы по теме; Анализ данных; Моделирование; Графические способы решения задач.

Леонард Эйлер Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. Автор множества работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и других работ, оказавших значительное влияние на развитие всемирной науки.

Биография Леонард Эи ̆ лер родился 15 апреля 1707 года в семье пастора, жившеи ̆ в швеи ̆ царском городке Базеле. Начальное обучение Эи ̆ лер получил под руководством отца, котоорый готовил его к духовной карьере. С детства увлекался математикой. В 13 лет Леонард Эи ̆ лер стал студентом факультета искусств Базельского университета. В 17 лет был удостоен уче ̈ нои ̆ степени магистра. В 19-лет Эи ̆ лер был включен в число кандидатов на должность профессора физики.

В 1726 был приглашён в Петербургскую АН и переехал в 1727 в Россию. В 20 лет стал членом Петербургскои ̆ академии наук. В 23 года - профессор физики, в 26 - Леонард Эи ̆ лер получает кафедру высшеи ̆ математики в должности академика. За этот период написал более 90 крупных научных работ по математике, гидравлике, архитектуре, навигации, картографии, механике. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств.

Здесь с 1766г. жил Эйлер. В 26 лет Леонард Эйлер женился на своей ровеснице Катерине. В семье Эйлера родились 13 детей, но выжили только 3 сына и 2 дочери.

Ллетом 1741 Леонард Эйлер переехал в Берлин, где вскоре возглавил математическии ̆ класс в Берлинскои ̆ Академии наук и словесности в должности директора Математического департамента, где проработал около 25 лет, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской АН.

В 1766 г. Леонард Эйлер по приглашению Екатерины II снова возвращается в Россию, в Петербург. Вскоре после возвращения Эйлер перестал видеть. Но это не могло ослабить его огромную продуктивность. Слепой Эйлер, пользуясь своей феноменальной памятью, продолжал диктовать свои открытия.

Эйлер активно трудился до последних дней. 7 сентября после обеда, проведе ̈ нного в кругу семьи, беседуя с астрономом А. И. Лекселем о недавно открытои ̆ планете Уран и ее ̈ орбите, он внезапно почувствовал себя плохо и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг. Похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Умирая, он оставил много рукописей, которые Петербургская академия публиковала в течение последующих 47 лет.

Великии ̆ ученыи ̆ Леонард Эйлер занимает одно из первых мест в истории мировой науки. Полное собрание его трудов составляет 72 тома, более 850 научных работ. Этот тихий и скромный человек, полностью ослепший, много работал, совершив великое множество научных открытий. С точки зрения математики, XVIII век это век Эйлера. Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».

– геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между множествами. Впервые он использовал их в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что круги очень подходят для того, чтобы «облегчить наши размышления.» Наряду с кругами в подобных задачах применяют прямоугольники и другие фигуры.

В математике множеством называют совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Предметы, составляющие множество, называются его элементами. Множества обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита: А, В, С,…. Термин «множество» употребляется независимо от того, много или мало в этом множестве элементов, Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø

Пересечением двух множеств А и В называют множество, состоящее из всех общих элементов множеств А и В, т. е. Из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. А В А В

Объединением С двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А или множеству В. Обозначают это так: С = А U В. Иными словами, в объединение входят все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств. А U В

Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Кактусы 6 Фиалки 5

4 2 3 Кактусы 6 Фиалки 5

4 2 3 Кактусы 6 Фиалки 5

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками – 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

13

Я живу в девятиэтажном доме, где на первом этаже нет квартир, а на всех остальных – по 4 квартиры. И в каждой квартире, кроме моей, есть какая-нибудь «живность». В 15 квартирах живут кошки, в 13 - собаки и в 13 - попугайчики. В одной квартире обитают и кошки, и собаки, в четырех кошки и попугаи, в одной - и кошки, и попугаи, и собаки. Сколько семей держат и собак, и попу гаев?

Кошки 15 Собаки 13 Попугайчики 13

Кошки 10 Собаки 13 Попугайчики х 3

Кошки 15 Собаки 13 Попугайчики х х=12-х 13-4-х= 9-х

В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 - умных и 9 - добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?

Красивые 10 Умные 12 Добрые 9

Красивые 10 Умные 12 Добрые х

Красивые 10 Умные 12 Добрые х 8 - х х

Красивые 10 Умные 12 Добрые х 8 - х х х + 8 – х – х = 22

В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей классической музыки, 15 - джаза и 14 - народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз - 7, классику и народную - 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

По плану застройки участок площадью 1500 м 2 состоит из двух пересекающихся прямоугольников, их пересечение отведено под гараж. Площадь первого прямоугольника равна 900 м2, площадь второго 700 м2. Найдите площадь: а) участка, отведенного под гараж; б) части второго прямоугольника, не отведенного под гараж; в) части второго прямоугольника, не отведенного под гараж; г) части застройки без учета гаража.

Всего- 38 чел Баскетбол - 16 чел Хоккей - 17 чел Волейбол - 18 чел Б.Х - 4 чел Б.В - 3 чел В.Х - 5 чел Ни чем– 3 чел Сколько человек занимаются всеми видами спорта? В одной спортивной секции?

16 – (4 + z + 3) = 9 - z 8 - z 10 - z 38 = 3 + (9 – z) + (8 – z ) + + (10 – z) z, откуда z = 2 2-ое ребят занимаются 3-мя видами спорта 9 – 2=7 (чел) - баскетбол 8 – 2=6 (чел) - хоккей 10 –2=8 (чел) - волейбол = 21 (чел) - одним видом спорта Б 16 Х 17 В 18 z 9 - z8 - z 10 - z Решение

Для решения задач с помощью кругов Эйлера можно воспользоваться алгоритмом, состоящим из следующих этапов: Записать краткое условие задачи. Выполнить рисунок. Записать данные в круги (или в диаграмму Эйлера). Анализируем, рассуждаем, не забывая записывать результаты в части круга (диаграммы). Записываем ответ.

Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными просты и не требуют особых умозаключений. Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к её решению. Данная тема, безусловно расширяет математический кругозор учащихся, обогащает арсенал средств, используемых в решении разнообразных задач. Материал, используемый в работе, пригодится для решения задач занимательного характера, позволит применять методы и правила для решения нетрадиционных задач. Приобретенные сведения и знания способствуют повышению интеллектуального развития, помогают развить умение наблюдать и анализировать. Выводы: