учитель методист РСШ С.И. Абрамова с.Ракиты 2012 г.

Введение: Для того, чтобы научиться решать задачи конкурсного типа самостоятельно или под руководством учителя, необходимо ознакомиться с некоторым минимумом решения таких задач этот минимум не должен состоять из большого числа задач. Необходимо познакомить ученика с большим количеством приемов решений, которые составляют суть задач конкурсного типа.

Подробнее рассмотрим задачи на концентрации растворов и на процентное содержание, то есть на смеси.

Концентрацию вещества в смеси можно выразить в процентах. Считая, что вся смесь составляет 100%,заключаем,что процентное содержание первого и второго веществ равны соответственно: Р 1 =С 1 * 100%, Р 2 =С 2 * 100%, при этом Р 1 +Р 2 =(С 1 + С 2 ) * 100%=100%. Если смесь состоит из n-компонент, то аналогично определяются С i и Р i при i=1,2,…, n. При этом сохраняются соотношения: Р i= С i * 100%, i =1,2,…, n; С 1 + С 2 +…+ С n =1; Р 1 + Р 2 +…+ Р n =100. Отметим полезное свойство концентраций. Если в смеси из n- компонент i-тое вещество составляет концентрацию С i в частях или Р i= С i * 100 в процентах и имеет массу m i единиц, то масса всей смеси равна: М= m i = m i * 100. с i Р i

Аналогично понятию массовой концентрации вводится понятие объёмной концентрации, если массы входящих в смесь в-в заменить на объёмы. Наконец, отметим, что в элементарных математических задачах на смеси предполагается, что смешиваемые в-ва не вступают в химическую реакцию, так что, если m 1 и m 2 – массы смешиваемых в-в, то масса смеси m= m 1 +m 2.

Рассмотрим несколько задач: Задача 1 Сколько воды надо добавить в 1 л раствора, содержащего 96% спирта, чтобы получить раствор с содержанием спирта 40 %? Решение: 1 л раствора, в котором содержится 96% спирта содержит этого спирта 1 * 0,96=0,96 л. Это же количество спирта должны содержать и х л раствора с содержанием спирта 40%. Следовательно, 0,96= х * 0,4, х=2,4 л, и надо добавить 2,4 – 1 = 1,4 л. Ответ: 1,4 л.

Задача 2 Процент содержания меди в первом сплаве на 40% меньше, чем во втором сплаве. После того, как эти слитки сплавили вместе, получили новый сплав с содержанием меди 30%.Определить процентное содержание меди в первоначальных сплавах, если в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором 12 кг. Решение: Пусть х процентов меди содержалось в первом сплаве, тогда х + 40 процентов её содержалось во втором. В первом сплаве меди было 6 кг, а во втором 12кг,следовательно,1% первого и второго сплавов имели массы 6 : х и 12 : (х + 40)кг соответственно. Поскольку каждый сплав составляет 100%, то их массы будут М 1 = 600 :х кг и М 2 = 1200 :(х+ 40) соответственно.

Новый сплав содержит меди то же количество, которое было до сплавления в двух слитках, т.е. 6+12=18 кг. Это по условию задачи составляет 36% нового сплава, поэтому масса нового сплава есть: 18:36 * 100=50 кг. Масса нового сплава состоит из масс двух старых сплавов, так что: 50=М 1 +М 2 =(600 /х) /(х+ 40) 1= (12 /х)+ 24 /(х+ 40). Решая полученное уравнение, находим х 1 =20, х 2 =-24.Так как х>0,то х=20.Следовательно,в первоначальных сплавах было 20 и 20+40=60 процентов меди. Ответ:20%, 60%

Первый кислотный раствор (кислота, растворённая в воде) содержит 0,8 кг чистой кислоты, а второй раствор содержит 0,6 кг этой же кислоты. После перемешивания растворов получили 10 кг нового раствора кислоты. Определить массу первого и второго растворов для перемешивания, если в первом растворе кислоты содержалось 10% больше, чем во втором. Решение 1:. Обозначим через X кг – массу первого раствора, тогда масса второго будет 10 – X кг. 2. процентное содержание кислоты в первом и втором растворах соответственно равно: По условию имеем:. Отсюда получаем и находим так как x меньше суммарной массы 10кг, то x = 4. Искомые массы = 4кг и 10 – 4 = 6 кг. Ответ: 4 кг, 6 кг

Имеется два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом в два с половиной раза больше, чем во втором. Если сплавить оба слитка вместе, то получиться слиток, в котором 40% золота. Определить, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно. Что при сплаве равных по весу частей первого и второго слитков получается слиток, в котором содержится 35% золота. Решение. I. Пусть x % золота содержится во втором слитке, тогда 2,5% золота содержится в первом слитке. 2. Пусть m 1 и m2 – массы первого и второго слитков. Тогда они содержат соответственно m1 и единиц массы золота. 3. Если оба слитка сплавить, то сплав будет иметь массу, в которой золото составляет 40%, следовательно, Разделим обе части этого равенства на и обозначим После преобразования получим: 4. Одна единица массы первого и второго слитков содержит соответственно единиц массы золота, а их сплав состоит из двух единиц массы и содержит 35% золота, следовательно, 5. Поставляя в уравнение (I) и вычисляя, находим Следовательно Ответ: В 2 раза.

Решение задач на сплавы и концентрацию.

Составила учитель математики МБОУ «Ракитовская СОШ» Абрамова С.И.

Сборник задач по математики Задачи на проценты, смеси и сплавы – автор Сканави. Методика и решения автора презентации.