Математика Логарифмические уравнения Методы и образцы решения

Логарифмическим уравнением называется уравнение вида

ТЕОРЕМА Если f (x) > 0 и g (x) > 0, то логарифмическое уравнение log а f (x) = log а g (x) (1) (где а>0, а 1) равносильно уравнению f (x) = g (x) (2). На практике эту теорему применяют так: переходят от уравнения (1) к уравнению (2) (такой переход называют потенцированием), решают уравнение (2), а затем проверяют его корни по условиям: f (x) > 0 и g (x) > 0, определяющим область допустимых значений переменной (ОДЗ). Те корни уравнения (2), которые удовлетворяют этим условиям, являются корнями уравнения (1). Те корни уравнения (2), которые не удовлетворяют хотя бы одному из этих условий, объявляются посторонними корнями для уравнения (1). Иногда удобнее использовать другой порядок ходов: сначала решить систему неравенств: f (x) > 0 и g (x) > 0, т.е найти область допустимых значений переменной (ОДЗ). Затем найти корни уравнения (2), и сделать проверку по найденному значению ОДЗ.

Пример 1 log 3 ( х 2 – 3х – 5) = log 3 (7 – 2х) ОДЗ : х 2 – 3х – 5> 0,7 – 2х > 0. Освободимся от знаков логарифмов на основании теоремы х 2 – 3х – 5= 7 – 2х, х 1 =4, х 2 =-3 Проверим выполнение условия ОДЗ: х 1 =4 – посторонний корень, х 2 =-3 – корень логарифмического уравнения. Ответ: -3

Пример 2 log 1/6 (7х-9) = log 1/6 х ОДЗ: 7х-9> 0, получим х > 9/7. х> 0. Освободимся от знаков логарифмов на основании теоремы 7х-9=х, х=3/2, 3/2 > 9/7, значит х=3/2 корень логарифмического уравнения. Ответ: 3/2 При решении данных уравнений использовался метод потенцирования. Решим следующее уравнение, применив метод потенцирования.

Пример 3 log 2 (х+1) + log 2 (х+3) = 3 ОДЗ: х+1> 0, х > -1; х+3> 0, х > -3. Получим ОДЗ: х > -1. Представим 3= log 2 8. log 2 (х+1)(х+3) = log 2 8 Освободимся от знаков логарифмов на основании теоремы (х+1)(х+3) = 8, х=1, х=-5. х=-5 – посторонний корень, х=1 – корень логарифмического уравнения ответ: 1

Для решения другого типа логарифмических уравнений применяется метод введения новой переменной. Пример 4 log 2 2 х + log 2 х - 2= 0 ОДЗ: х > 0. Пусть log 2 х = у, получим у 2 + у – 2 = 0, у = -1, у= 2. Вернемся к переменной х: Если у=-1, то log 2 х = -1, х=1/2 Если у=2, то log 2 х = 2, х= 4. ½ > 0., значит х=1/2 – корень логарифмического уравнения 4 > 0. значит х=4 – корень логарифмического уравнения. Ответ: ½, 4

Для решения другого типа логарифмических уравнений применяется метод логарифмирования Пример 5: х log 3 x = 81. Правую и левую части уравнения принимают положительные значения, значит возьмем логарифмы по основанию 3 от обеих частей, получим: log 3 х log 3 x = log 3 81, ОДЗ х > 0. log 3 х log 3 х= 4 log 2 3 х = 4 log 3 х = 2 или log 3 х = -2 х= 9, х=1/9 9 > 0, значит х=9 – корень логарифмического уравнения 1/9 > 0, значит х=1/9 – корень логарифмического уравнения. Ответ: 1/9; 9.

Итак, мы познакомились с тремя методами решения логарифмических уравнений, проанализировав данные примеры, можем составить алгоритмы решения различных типов логарифмических уравнений разными методами (таблица «Алгоритмы решения простейших логарифмических уравнений»).

1)

2)

3)

4)

5)

Историческая справка. Принято считать, что вся современная наука оформилась в 17 веке. Действительно, в конце этого столетия образовались первые академии наук и была создана первая научная картина мира, объединившая механику с астрономией. Основу такого синтеза первым угадал Галилей, заявивший около 1630 года: Природа говорит с нами на языке математики! Вернее сказать, что природа обращается к нам сразу на многих диалектах единого математического языка. Мы называем эти диалекты арифметикой, геометрией, алгеброй или математическим анализом, но не всегда чувствуем их единство, а многих диалектов мы еще не знаем. Оттого в любой момент времени наше представление о законах природы не полно, и нередко оно противоречиво. Устранение каждого противоречия требует серьезной перестройки в системе математических понятий. Что-то привычное мы вынуждены отвергнуть, как заблуждение; другие знакомые слова приобретают новый смысл. Начиная с 17 века, это "понятийное землетрясение" сделалось в науке обычным явлением: все к нему привыкли и терпят его, а многие радуются такой беспокойной жизни. Но войти в этот режим работы нелегко даже в наши дни; насколько же труднее было первопроходцам! Не удивительно, что у истока новой науки собрались люди с причудливыми характерами. Всех их объединяло безграничное любопытство, беспредельное трудолюбие и буйная фантазия.

Первым в этом ряду богатырей оказался немец Иоганн Кеплер ( ) - неутомимый наблюдатель и неугомонный вычислитель. Он вошел в большую науку в 1600 году - когда императорский астроном Тихо Браге принял его на работу в Пражскую обсерваторию. Тщательно наблюдая за движением планет среди звезд в течение 30 лет, Браге накопил огромный запас точных данных - но не мог привести их в единую систему. Он быстро отверг давнюю геоцентрическую модель Птолемея и недавнюю гелиоцентрическую модель Коперника (в которой сохранилась система эпициклов, введенных Гиппархом). Но каковы истинные траектории полета планет в пространстве ? В каком режиме они движутся по этим кривым? Браге поручил Кеплеру разобраться в движении Марса: оно более всего противоречит здравому смыслу, ибо временами Марс вдруг останавливается среди планет и пятится назад.

Кеплер сразу догадался: если орбита Марса не может быть окружностью, то, скорее всего, она - эллипс. Кажущееся движение Марса вспять можно объяснить просто: Солнце находится не в центре эллипса, а сдвинуто куда-то вбок. Куда? Скорее всего, в фокус эллипса - самую замечательную точку, связанную с этой кривой. Но в каком режиме движется Марс по своему эллипсу - это можно выяснить только путем громоздких расчетов. Эта работа заняла у Кеплера 8 лет; он испытал и отверг около 20 разных гипотез, пока не нашел (в 1609 году) истинную: за равные отрезки времени вектор, соединяющий Солнце с Марсом, заметает в плоскости их общего движения секторы равной площади. Чтобы справиться с огромным объемом вычислений, Кеплеру пришлось сделать два замечательных изобретения. Во-первых, он научился заменять умножение многозначных чисел сложением их логарифмов. Во-вторых, Кеплер научился вычислять путь, пройденный планетой за данное время, по известной (переменной) скорости планеты.

Переход от чисел к их логарифмам и обратно требует громоздких и точных таблиц. Сначала Кеплер составлял их сам; но в 1614 году появились подробные таблицы логарифмов Чарльза Непира. За 20 лет упорного труда этот шотландец рассчитал не только логарифмы чисел, но и логарифмы значений всех тригонометрических функций: они постоянно встречаются в астрономических расчетах. Таблицы Непира открыли путь к автоматизации всех арифметических вычислений; первым шагом в этом направлении стала привычная нам логарифмическая линейка. Ее изобрел в 1622 году англичанин Вильям Оутред. При этом он использовал десятичные логарифмы: они более удобны в расчетах, чем натуральные логарифмы, с которыми работал Непир. Следующие шаги в автоматизации вычислений сделали француз Блез Паскаль (в 1642 году) и немец Вильгельм Лейбниц (в 1671 году). Паскаль построил первый механический арифмометр, выполняющий сложение и вычитание многозначных чисел. Арифмометр Лейбница позволил также умножать и делить многозначные числа. Следующий важный шаг в развитии вычислительной техники был сделан только в 20 веке - когда развитие физики позволило создать электронные вычислительные машины (компьютеры).