Многогранники Презентацию темы «Многогранники» подготовили: канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой алгебры, геометрии, ТиМОМ Л.Т. Крежевских; преподаватель геометрии, ТиМОМ Л.Т. Крежевских; преподаватель кафедры алгебры, геометрии, ТиМОМ М.В. Волкова Глазов 2008

Содержание 1. Выпуклые и невыпуклые многогранники…… Выпуклые и невыпуклые многогранники…… Правильные многогранники……………………… Правильные многогранники……………………… Топологически правильные 2.1. Топологически правильные2.1. Топологически правильные2.1. Топологически правильные многогранники………………………………………6 многогранники……………………………………… Платоновы тела…………………………………… Платоновы тела…………………………………… Платоновы тела…………………………………… Платоновы тела…………………………………….8 3. Полуправильные многогранники…..……………14 3. Полуправильные многогранники…..……………14 4. Звездчатые многогранники……………..…………26 4. Звездчатые многогранники……………..…………26 5. Список рекомендуемой литературы……….… Список рекомендуемой литературы……….… слайда

1. Выпуклые и невыпуклые многогранники Многогранник называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок. В противном случае многогранник называется невы- пуклым. Многогранник называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок. В противном случае многогранник называется невы- пуклым. На рис.1 приведен пример выпуклого многогранника, на рис.2 – невыпуклого. На рис.1 приведен пример выпуклого многогранника, на рис.2 – невыпуклого. 3 Рис. 2 Рис. 1

Свойства выпуклых многогранников Свойства выпуклых многогранников 1̊. Многогранник является выпуклым тогда и только тогда, когда он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. 2̊. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником 3̊. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику. 4 Рис. 3

Великим математиком, физиком и астрономом Леонардом Эйлером ( ) (рис.4) была доказана удивительная теорема. Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника В + Г Р = 2, В + Г Р = 2, где В – число вершин, где В – число вершин, Г – число граней, Г – число граней, Р – число ребер этого Р – число ребер этого многогранника. многогранника. Например, для n-угольной пирамиды Например, для n-угольной пирамиды (рис.5) (рис.5) В = n+1, Г = n+1, Р = 2n, следовательно, В + Г - Р = n+1+ n+1- 2n=2. 5 Рис. 5 Рис. 4

2. Правильные многогранники 2.1. Топологически правильные многогранники Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если все его грани имеют одно и то же число вершин, а все многогранные углы – одно и то же число граней. Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если все его грани имеют одно и то же число вершин, а все многогранные углы – одно и то же число граней. Например, топологически правильными многогран- никами являются треугольная пирамида (рис.6), четырехугольная призма (рис.7), параллелепипед (рис.8) и т.д. Например, топологически правильными многогран- никами являются треугольная пирамида (рис.6), четырехугольная призма (рис.7), параллелепипед (рис.8) и т.д. 6 Рис. 8 Рис. 7Рис. 6

Любой топологически правильный многогранник принадлежит к одному из следующих пяти типов: Любой топологически правильный многогранник принадлежит к одному из следующих пяти типов: - тетраэдр (четырехгранник); - тетраэдр (четырехгранник); - гексаэдр (шестигранник); - гексаэдр (шестигранник); - октаэдр (восьмигранник); - октаэдр (восьмигранник); - додекаэдр (двенадцатигранник); - додекаэдр (двенадцатигранник); - икосаэдр (двадцатигранник). - икосаэдр (двадцатигранник). Например, на рис.9 изображен тетраэдр, на рис.10 - Например, на рис.9 изображен тетраэдр, на рис.10 - гексаэдр, а на рис.11 – додекаэдр. гексаэдр, а на рис.11 – додекаэдр. 7 Рис. 11 Рис. 10Рис. 9

2.2. Платоновы тела Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, а многогранные углы при его вершинах имеют одно и то же число граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, а многогранные углы при его вершинах имеют одно и то же число граней. Правильный многогранник есть частный случай топологически правильного многогранника. Правильный многогранник есть частный случай топологически правильного многогранника. Существует пять и только пять типов правильных многогранников: Существует пять и только пять типов правильных многогранников: - правильный тетраэдр; - правильный тетраэдр; - правильный октаэдр; - правильный октаэдр; - правильный икосаэдр; - правильный икосаэдр; - правильный гексаэдр или куб; - правильный гексаэдр или куб; - правильный додекаэдр. - правильный додекаэдр. 8 Еще Платон (около гг. до н.э.) (рис.12) знал все пять правильных много- гранников и придавал им большое значение. Поэтому они называются также платоновыми телами. Платоновы тела изображены на рис.13. Еще Платон (около гг. до н.э.) (рис.12) знал все пять правильных много- гранников и придавал им большое значение. Поэтому они называются также платоновыми телами. Платоновы тела изображены на рис.13. Рис. 12

9 Правильный тетраэдр Правильный октаэдр Правильный икосаэдр Правильный додекаэдр Куб Рис. 13

Важнейшие данные о правильных многогранниках приведены в таблице 1: Название правильного многогранника Видграни Число вершинреберграней граней, сходящихся в одной вершине Тетраэдр Правильный треугольник 4643 Октаэдр Икосаэдр Куб (гексаэдр) Квадрат81263 Додекаэдр Правильный пятиугольник

Два многогранника называются взаимными (или двойственными), если центры граней одного являются вершинами другого. Взаимными многогранниками являются октаэдр и куб, икосаэдр и додекаэдр, тетраэдр взаимен с тетраэдром. Два многогранника называются взаимными (или двойственными), если центры граней одного являются вершинами другого. Взаимными многогранниками являются октаэдр и куб, икосаэдр и додекаэдр, тетраэдр взаимен с тетраэдром. Взаимность правильных многогранников хорошо видна в таблице 1: число вершин одного тела равна числу граней другого; оба тела имеют одинаковое число ребер; в вершине одного тела сходится столько граней, сколько вершин имеется у грани другого тела. Взаимность правильных многогранников хорошо видна в таблице 1: число вершин одного тела равна числу граней другого; оба тела имеют одинаковое число ребер; в вершине одного тела сходится столько граней, сколько вершин имеется у грани другого тела. 11

Правильные многогранники существовали на Земле задолго до появления на ней человека – кубы поваренной соли, тетра- эдры сурьмянистого серно- кислого натрия, октаэдры хромовых квасцов, икосаэдры бора и додекаэдры радиолярий (микроскопических морских организмов), скелет одно- клеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр (рис. 14). Правильные многогранники существовали на Земле задолго до появления на ней человека – кубы поваренной соли, тетра- эдры сурьмянистого серно- кислого натрия, октаэдры хромовых квасцов, икосаэдры бора и додекаэдры радиолярий (микроскопических морских организмов), скелет одно- клеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр (рис. 14). Рис

Структура правильных многогранников (рис.15) очень удобна для изучения множества преобразований многогранника в себя (повороты, симметрии и т.д.). Получающиеся при этом группы преобразований (их называют группами симметрий) оказались весьма интересными с точки зрения теории конечных групп. Эта же симметричность позволила создать серию головоломок в виде правильных многогранников, начавшуюся «кубиком Рубика» и «молдавской пирамидкой». Структура правильных многогранников (рис.15) очень удобна для изучения множества преобразований многогранника в себя (повороты, симметрии и т.д.). Получающиеся при этом группы преобразований (их называют группами симметрий) оказались весьма интересными с точки зрения теории конечных групп. Эта же симметричность позволила создать серию головоломок в виде правильных многогранников, начавшуюся «кубиком Рубика» и «молдавской пирамидкой». 13 Рис. 15

3. Полуправильные многогранники 3. Полуправильные многогранники Полуправильными многогранниками называются многогранники, у которых грани – правильные многоугольники разных типов и все многогранные углы равны (более точное их название – равноугольно полуправильные много- гранники). Полуправильными многогранниками называются многогранники, у которых грани – правильные многоугольники разных типов и все многогранные углы равны (более точное их название – равноугольно полуправильные много- гранники). Простейшими примерами таких многогранников являются правильные n – угольные призмы, боковыми гранями которых являются квадраты (рис. 16), и скошенные призмы (или анти- призмы), у которых основания – правильные n – угольники, а боковые грани – 2n равносторонних треугольников (рис. 17). Простейшими примерами таких многогранников являются правильные n – угольные призмы, боковыми гранями которых являются квадраты (рис. 16), и скошенные призмы (или анти- призмы), у которых основания – правильные n – угольники, а боковые грани – 2n равносторонних треугольников (рис. 17). 14 Рис. 17 Рис. 16

Архимед (287 – 212 гг. до н.э.) (рис. 18) показал, что кроме двух серий – призм и скошенных призм – существует 13 типов полупра- вильных многогранников. Позже они были названы архимедовыми телами. Архимед (287 – 212 гг. до н.э.) (рис. 18) показал, что кроме двух серий – призм и скошенных призм – существует 13 типов полупра- вильных многогранников. Позже они были названы архимедовыми телами. Полная теория полуправильных многогранников была восстанов- лена немецким ученым И. Кеплером (1571 – 1630 гг.) (рис. 19). Он первым опубликовал список тринадцати архимедовых тел и дал им названия, под которыми они известны поныне. Полная теория полуправильных многогранников была восстанов- лена немецким ученым И. Кеплером (1571 – 1630 гг.) (рис. 19). Он первым опубликовал список тринадцати архимедовых тел и дал им названия, под которыми они известны поныне. 15 Рис. 18 Рис. 19

Полуправильные многогранники Полуправильные многогранники (архимедовы тела) (рис. 20) можно получить из правильных многогранников (платоновых тел) либо «отсечением углов», либо «отсечением ребер». (архимедовы тела) (рис. 20) можно получить из правильных многогранников (платоновых тел) либо «отсечением углов», либо «отсечением ребер». 16 Рис. 20

1. Если срезать углы правильного тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получится усеченный тетра- эдр. Он имеет 8 граней: 4- правильные шестиугольники и 4- правильные треуголь- ники (рис. 21, рис. 22) 1. Если срезать углы правильного тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получится усеченный тетра- эдр. Он имеет 8 граней: 4- правильные шестиугольники и 4- правильные треуголь- ники (рис. 21, рис. 22) 17 Рис. 21 Рис. 22

2. Кубооктаэдр получается отсечением вершин куба (октаэдра) плоскостями, про- ходящими через середины ребер, выходящих из каждой вершины куба (октаэдра). В качестве граней кубооктаэдра имеет 8 правильных тре- угольников и 6 квадратов (рис. 23, рис. 24). 2. Кубооктаэдр получается отсечением вершин куба (октаэдра) плоскостями, про- ходящими через середины ребер, выходящих из каждой вершины куба (октаэдра). В качестве граней кубооктаэдра имеет 8 правильных тре- угольников и 6 квадратов (рис. 23, рис. 24). 18 Рис. 23 Рис. 24

3. Усеченный октаэдр по- лучается из октаэдра отсечением его вершин вместе с 1/3 частью ребер, выходящих из этих вершин. Его гранями являются 6 квадратов и 8 правильных шестиугольников (рис. 25). 3. Усеченный октаэдр по- лучается из октаэдра отсечением его вершин вместе с 1/3 частью ребер, выходящих из этих вершин. Его гранями являются 6 квадратов и 8 правильных шестиугольников (рис. 25). 4. Усеченный куб полу- чается отсечением вершин куба плоскостями так, чтобы гранями полученного многогранника оказались правильные восьмиуголь- ники (6) и правильные треугольники (8) (рис. 26). 4. Усеченный куб полу- чается отсечением вершин куба плоскостями так, чтобы гранями полученного многогранника оказались правильные восьмиуголь- ники (6) и правильные треугольники (8) (рис. 26). 19 Рис. 25 Рис. 26

5. Гранями ромбокубоок- таэдра являются 8 правильных треугольников и 18 квадратов (рис. 27). 5. Гранями ромбокубоок- таэдра являются 8 правильных треугольников и 18 квадратов (рис. 27). 6. Усеченный кубооктаэдр – 12 квадратов, 8 правильных шестиугольников и 6 правиль- ных восьмиугольников (рис. 28). 6. Усеченный кубооктаэдр – 12 квадратов, 8 правильных шестиугольников и 6 правиль- ных восьмиугольников (рис. 28). 20 Рис. 27 Рис. 28

7. Икосододекаэдр – 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиуголь- ников (рис. 29). 7. Икосододекаэдр – 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиуголь- ников (рис. 29). 8. Усеченный додекаэдр – 20 правильных треуголь- ников и 12 правильных десятиугольников (рис. 30). 8. Усеченный додекаэдр – 20 правильных треуголь- ников и 12 правильных десятиугольников (рис. 30). 21 Рис. 29 Рис. 30

9. Усеченный икосаэдр – 12 правильных пятиуголь- ников и 20 правильных шестиугольников (рис. 31). 9. Усеченный икосаэдр – 12 правильных пятиуголь- ников и 20 правильных шестиугольников (рис. 31). 10. Плосконосый (курно- сый) куб – 32 правильных треугольника и 6 квадратов (рис. 32). 10. Плосконосый (курно- сый) куб – 32 правильных треугольника и 6 квадратов (рис. 32). 22 Рис. 32 Рис. 31

13. Плосконосый (курносый) додекаэдр – 80 правильных треугольников и 12 правиль- ных пятиугольников (рис. 35). 13. Плосконосый (курносый) додекаэдр – 80 правильных треугольников и 12 правиль- ных пятиугольников (рис. 35) Усеченный икосаэдр – 30 квадратов, 20 правильных шести- угольников и 12 правильных десятиугольников (рис. 34). 12. Усеченный икосаэдр – 30 квадратов, 20 правильных шести- угольников и 12 правильных десятиугольников (рис. 34). 11. Ромбоикосододекаэдр – 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников (рис. 33). 11. Ромбоикосододекаэдр – 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников (рис. 33). Рис. 34 Рис. 33 Рис. 35

Важнейшие данные о полуправильных многогранниках приведены в таблице 2: Название Число граней Число вершин Число рёбер Число граней по их виду Усечённый тетраэдр Кубооктаэдр Усечённый куб Усечённый октаэдр Ромбокубооктаэдр Усечённый кубооктаэдр Икосододекаэдр Усечённый додекаэдр Усечённый икосаэдр Плосконосый куб Ромбоикосододекаэдр Усечённый икосаэдр Плосконосый додекаэдр

2 тысячи лет считалось, что архимедовых тел всего 13, и лишь в 1957 г. обнаружилось, что верхнюю часть ромбокубооктаэдра, состоящую из 5 квадратов и 4 правильных треугольников, можно повернуть на 45°. Так появился четырнадцатый полуправильный многогранник. Открыл его советский математик В.Г. Ашкинузе (рис. 36). 2 тысячи лет считалось, что архимедовых тел всего 13, и лишь в 1957 г. обнаружилось, что верхнюю часть ромбокубооктаэдра, состоящую из 5 квадратов и 4 правильных треугольников, можно повернуть на 45°. Так появился четырнадцатый полуправильный многогранник. Открыл его советский математик В.Г. Ашкинузе (рис. 36). 25 Ромбокубо- октаэдр Многогранник Ашкинузе Рис. 36

4. Звездчатые многогранники Первый звездчатый много- гранник был открыт итальянским художником Леонардо да Винчи и спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером. Это многогранник, который встре- чается в природе в виде двойного кристалла и состоит из тетраэдров, вершины кото- рых образуют куб (рис. 37). Первый звездчатый много- гранник был открыт итальянским художником Леонардо да Винчи и спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером. Это многогранник, который встре- чается в природе в виде двойного кристалла и состоит из тетраэдров, вершины кото- рых образуют куб (рис. 37). И. Кеплер назвал его «Stella octangula» (звездчатый окта- эдр). И. Кеплер назвал его «Stella octangula» (звездчатый окта- эдр). 26 Рис. 37

Звездчатый октаэдр Кеплера обладает следующими свойствами: Звездчатый октаэдр Кеплера обладает следующими свойствами: а) его вершины являются вершинами куба; а) его вершины являются вершинами куба; б) он представляет собой объединение двух правиль- ных тетраэдров; б) он представляет собой объединение двух правиль- ных тетраэдров; в) пересечение этих тет- раэдров является правиль- ным октаэдром (рис. 38). в) пересечение этих тет- раэдров является правиль- ным октаэдром (рис. 38). 27 Рис. 38

Кроме этого И. Кеплер открыл в XVII в. два правильных звездчатых многогранника – малый звездчатый додекаэдр, названный им «колючим» или «ежом» (рис. 39), и большой звездчатый додекаэдр (рис. 40). Кроме этого И. Кеплер открыл в XVII в. два правильных звездчатых многогранника – малый звездчатый додекаэдр, названный им «колючим» или «ежом» (рис. 39), и большой звездчатый додекаэдр (рис. 40). 28 Рис. 40 Рис. 39

Другие два звездчатых многогранника – большой додекаэдр (рис. 41) и большой икосаэдр (рис. 42), двойственные соот- ветственно первым двум, были открыты спустя почти двести лет, в 1810 году, французским математиком Л. Пуансо. Другие два звездчатых многогранника – большой додекаэдр (рис. 41) и большой икосаэдр (рис. 42), двойственные соот- ветственно первым двум, были открыты спустя почти двести лет, в 1810 году, французским математиком Л. Пуансо. 29 Рис. 41Рис. 42

Поэтому четыре правильных звездчатых многогранника называют телами Кеплера – Пуансо (рис. 43). Поэтому четыре правильных звездчатых многогранника называют телами Кеплера – Пуансо (рис. 43). 30 Рис. 43 Большой звездчатый додекаэдр Малый звездчатый додекаэдр Большой додекаэдр Большой икосаэдр

Огюстен Коши в 1812 г. доказал, что возможные правильные многогранники исчерпываются пятью «платоновыми телами» и четырьмя многогранниками Кеплера – Пуансо, к которым можно добавить звездчатый октаэдр Кеплера (рис. 44). Огюстен Коши в 1812 г. доказал, что возможные правильные многогранники исчерпываются пятью «платоновыми телами» и четырьмя многогранниками Кеплера – Пуансо, к которым можно добавить звездчатый октаэдр Кеплера (рис. 44). 31 Рис. 44

Четыре многогранника Кеплера – Пуансо и звездчатый октаэдр Кеплера можно получить из правильных многогранников продолжением их ребер или несмежных граней до самопересечения. Четыре многогранника Кеплера – Пуансо и звездчатый октаэдр Кеплера можно получить из правильных многогранников продолжением их ребер или несмежных граней до самопересечения. Если продолжить ребра правильного додекаэдра, то получим малый звездчатый додекаэдр, если грани – то можно получить большой звездчатый додекаэдр (если в качестве граней рассматривать правильные выпуклые пятиугольники) и большой додекаэдр (если в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники). Продолжая грани правильного икосаэдра, можно получить большой икосаэдр. Если продолжить ребра правильного додекаэдра, то получим малый звездчатый додекаэдр, если грани – то можно получить большой звездчатый додекаэдр (если в качестве граней рассматривать правильные выпуклые пятиугольники) и большой додекаэдр (если в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники). Продолжая грани правильного икосаэдра, можно получить большой икосаэдр. Звездчатый октаэдр Кеплера можно получить, продолжая грани правильного октаэдра, имеющие общую вершину, но не имеющие общего ребра. Звездчатый октаэдр Кеплера можно получить, продолжая грани правильного октаэдра, имеющие общую вершину, но не имеющие общего ребра. 32

Существуют также и звездчатые полуправильные многогранники. В настоящее время известен 51 такой многогранник, но не доказано, что ими исчерпываются все такие многогранники. Существуют также и звездчатые полуправильные многогранники. В настоящее время известен 51 такой многогранник, но не доказано, что ими исчерпываются все такие многогранники. Множество звездчатых полуправильных многогранников получил советский иссле- дователь В.Н. Гамаюнов. Фигуры эти, обладающие своеобразной красотой, легли в основу нескольких архитектурных проектов, созданных В.А. Сомовым и А.М. Бреславцем. Множество звездчатых полуправильных многогранников получил советский иссле- дователь В.Н. Гамаюнов. Фигуры эти, обладающие своеобразной красотой, легли в основу нескольких архитектурных проектов, созданных В.А. Сомовым и А.М. Бреславцем. На рис. 45 даны изображения нескольких звездчатых полуправильных многогранников. На рис. 45 даны изображения нескольких звездчатых полуправильных многогранников. 33

34 Рис. 45

5. Список рекомендуемой литературы 1. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть 2. – М.: Просвещение, Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть 2. – М.: Просвещение, Березин В.Н. Правильные многогранники // Квант. – – С Березин В.Н. Правильные многогранники // Квант. – – С Веннинджер М. Модели многогранников. - М.: Мир, Веннинджер М. Модели многогранников. - М.: Мир, Левитин К. Геометрическая рапсодия. - М.: Знание, Левитин К. Геометрическая рапсодия. - М.: Знание, Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. – М.: Гостехиздат, Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. – М.: Гостехиздат, Орехов П.С. Изображения в стереометрии. – Ижевск: Удмуртия, Орехов П.С. Изображения в стереометрии. – Ижевск: Удмуртия, Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир,

36 9. Рубцов А. Еще один полуправильный многогранник? // Математика. – – С Рубцов А. Еще один полуправильный многогранник? // Математика. – – С Савин А. Правильные многогранники // Квант. – – 11, Савин А. Правильные многогранники // Квант. – – 11, Савченко В. Полуправильные многогранники // Квант. – – 1. – С Савченко В. Полуправильные многогранники // Квант. – – 1. – С Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия на профильном уровне. Лекция 6. Многогранники // Математика. – – 22. – С Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия на профильном уровне. Лекция 6. Многогранники // Математика. – – 22. – С Смирнова И.М., Смирнов В.А. Что такое «полуправильный многогранник» // Математика. – – 16. – С Смирнова И.М., Смирнов В.А. Что такое «полуправильный многогранник» // Математика. – – 16. – С Смирнова И.М. Геометрия. Пособие для подготовки к ЕГЭ: учебно-методическое пособие / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – М.: Издательство «Экзамен», Смирнова И.М. Геометрия. Пособие для подготовки к ЕГЭ: учебно-методическое пособие / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – М.: Издательство «Экзамен», Веннинджер М. Модели многогранников / wenninger. narod.ru. 15. Веннинджер М. Модели многогранников / wenninger. narod.ru.

16. Модели многогранников / Модели многогранников / Звездчатые многогранники / wiki/Звездчатыe многогранники. 17. Звездчатые многогранники / wiki/Звездчатыe многогранники. 18. Гармония и астрология в трудах Кеплера / filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z Гармония и астрология в трудах Кеплера / filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z Иоганн Кеплер / Logos/Kepler.htm. 19. Иоганн Кеплер / Logos/Kepler.htm. 20. Звездчатые многогранники / personal/58/3/3/zvezd.htm. 20. Звездчатые многогранники / personal/58/3/3/zvezd.htm. 21. Виды многогранников / New/04/chairs/cequip/www/wolchin/umm/ng/book/001/027. htm. 21. Виды многогранников / New/04/chairs/cequip/www/wolchin/umm/ng/book/001/027. htm Интересные факты / 05.htm. 23. Интересные факты / 05.htm. 24. Многогранники / Mnoggr.htm. 24. Многогранники / Mnoggr.htm. 25. Правильные многогранники / /doc/ Правильные многогранники / /doc/

Авторы презентации выражают благодарность выпускникам математического факультета 2008 года Блиновой Марии и Максимову Евгению, а также студенту 142 группы Шабардину Павлу за помощь в поиске материалов, в том числе и в сети Интернет. Авторы презентации выражают благодарность выпускникам математического факультета 2008 года Блиновой Марии и Максимову Евгению, а также студенту 142 группы Шабардину Павлу за помощь в поиске материалов, в том числе и в сети Интернет. 38