Горкунова Ольга Михайловна Прямоугольный параллелепипед Типовые задачи ЕГЭ - В9

Найдите квадрат расстояния между вершинами С и А 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 5, AD = 4, AA 1 = 3. A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 АВ = 5AD = 4AA 1 = 3 Найти А 1 С А 1 С = d диагональ прямоугольного параллелепипеда d 2 = a 2 + b 2 + h 2 abh Подставляем данные а = 5, b = 4, h = 3 d 2 = = 50 d = 50 = 5 2 Ответ: А 1 С = 5 2 1

Найдите квадрат расстояния между вершинами А и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 5, AD = 4, AA 1 = 3. A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 АВ = 5AD = 4AA 1 = 3 Найти АD 1 АD 1 - диагональ прямоугольника АА 1 D 1 D гипотенуза прямоугольного АD 1 D АD 1 2 = AD 2 + DD 1 2 Подставляем данные AD = 4, DD 1 = AA 1 = 3 AD 1 2 = = 25 AD 1 = 25 = 5 Ответ: АD 1 = 5 2

Найдите угол ABD 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 5, AD = 4, AA 1 = 3. Ответ дайте в градусах A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 АВ = 5AD = 4AA 1 = 3 Найти АBD 1 Точки А, В и D 1 лежат в плоскости АВС 1 D 1 BD 1 диагональ прямоугольника АВС 1 D 1 d 2 = a 2 + b 2 + h 2 Подставляем данные а = 5, b = 4, h = 3 d 2 = = 50 d = 50 = 5 2 Ответ: АВD 1 = 45 0 и ВD 1 – диагональ прямоуг. параллелепипеда А В D1D1 C1C1 5 2 Из ВАD 1 ( А=90 0 ) находим 5 3

Найдите угол CBC 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 5, AD = 4, AA 1 = 4. Ответ дайте в градусах A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 АВ = 5AD = 4AA 1 = 4 Найти СВС 1 Точки С, В и С 1 лежат в плоскости ВСС 1 В 1 BС 1 диагональ прямоугольника ВCС 1 B 1 ВС = AD = 4 - катет, CC 1 = AA 1 = 4 - катет Ответ: СВС 1 = 45 0 и BC 1 – гипотенуза ВСС 1 ( С=90 0 ) т.к. в ВCC 1 катеты равны, то он равнобедренный В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны

Найдите угол DBD 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 5, AD = 4, AA 1 = 4. Ответ дайте в градусах A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 АВ = 4AD = 3AA 1 = 5 Найти DВD 1 Ответ: DВD 1 = 45 0 BD = 5, т.к. в прямоугольном AВD катеты равны АВ=4, AD = 3 В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны 45 0 BDD 1 – прямоугольный ( D=90 0 ) т.к. DD 1 ABCD, DD 1 BD т.к. в ВDD 1 катеты BD = 5 и DD 1 = AA 1 = 5, то он равнобедренный ABD – прямоугольный, 5

В прямоугольном параллелепипеде (А…D 1 ) известно, что ВD 1 = 3, AD = 2, CD = 2. Найдите длину ребра АА 1. A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 ВD 1 = 3AD = 2CD = 2 Найти AА 1 AА 1 = h - высота параллелепипеда d 2 = a 2 + b 2 + h 2 a b h Подставляем данные а = 2, b = 2, h = 3 9 = h 2 h = 1 Ответ: AА 1 = 1 BD 1 = d – диагональ прямоуг. параллелепиеда 6

В прямоугольном параллелепипеде (А…D 1 ) известно, что DD 1 = 1, AD = 2, CD = 2. Найдите длину длину диагонали СА 1. A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 DD 1 = 1AD = 2CD = 2 Найти CА 1 DD 1 = h - высота параллелепипеда d 2 = a 2 + b 2 + h 2 a b h Подставляем данные а = 2, b = 2, h = 1 d 2 = d = 3 Ответ: CА 1 = 3 CA 1 = d – диагональ прямоуг. параллелепиеда 7

ПОЧЕМУ ? В кубе (А…D 1 ) точка К – середина ребра АА 1, точка L – середина А 1 В 1, Точка М – середина А 1 D 1. Найдите угол MLK. Ответ дайте в градусах A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Найти MLK Рассмотрим MLK - равносторонний Ответ: MLK = 60 0 КМ = ½ AD 1 – средняя линия треугольника АА 1 D 1 8 К L M МL = ½ B 1 D 1 – средняя линия треугольника B 1 А 1 D 1 КL = ½ AB 1 – средняя линия треугольника АА 1 B 1 AD 1 = B 1 D 1 = AB 1 как диагонали равных квадратов В равностороннем треугольнике все углы по 60 0

В прямоугольном параллелепипеде (А…D 1 ) известно, что АА 1 = 2, AВ = 2, АD = 5. Точка К – середина ребра ВВ 1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки D 1, K и А 1. A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 АА 1 = 2 AD = 5 АВ = 2 Найти S D1KA1 Точки D 1, K и А 1 – лежат в плоскости KА 1 D 1 M S = A 1 D 1. MD 1 S = 5. 5 = 5 Ответ: S сеч = 5 КА 1 D 1 M - прямоугольник 9 D 1 M (гипотенуза) найдем из D 1 C 1 M ( C 1 = 90 0 ) K M Построим сечение C 1 M = 0,5CC 1 = 0,5. 2 = 1 C 1 D 1 = AB = 2 A 1 D 1 = AD = 5

В прямоугольном параллелепипеде (А…D 1 ) известно, что АА 1 = 22, AВ = 24, АD = 10. Найдите площадь сечения, проходящего через точки А, С и А 1. A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 АА 1 = 22AD = 10АВ = 24 Найти S ACA1 Точки А, С и А 1 – лежат в плоскости АА 1 С 1 С S = AC. AA 1 Подставляем данные АС = 26, АА 1 = 22 S = = 572 Ответ: S сеч =572 АА 1 С 1 С - прямоугольник 10 AC (гипотенуза) найдем из ADC ( D = 90 0 ) АС 2 = AD 2 + DC 2 АС = 26

В кубе (А…D 1 ) найдите угол между прямыми AD 1 и B 1 D 1. Ответ в градусах A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Найти (AD 1,B 1 D 1 ) Ответ: AD 1 B 1 = Точки А, D 1 и B 1 лежат в плоскости АD 1 B 1 АD 1 B 1 - равносторонний AD 1 = B 1 D 1 = AB 1 – диагонали равных квадратов В равностороннем треугольнике все углы по 60 0 (AD 1,B 1 D 1 ) = AD 1 B 1

В прямоугольном параллелепипеде (А…D 1 ) известно, что АА 1 = 21, AВ = 8, АD = 6. Найти синус угла между прямыми СD и А 1 С 1. A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 АА 1 = 21AD = 6АВ = 8 Найти: sin( ACD) Ответ: sin( ACD) = 0,6 12 M (СD, A 1 C 1 ) = (CD, AC) = ACD АСD ( D = 90 0 ) AD – катет противолежащий ACD СD = АВ – катет прилежащий ACD АС 2 = AD 2 + CD 2 AC 2 = = 100 AC = 10 - гипотенуза