Выполнил : Студент 4 курса 43 группы Бойчук Дмитрий

Важное место в математике стран ислама занимала тригонометрия. Она служила звеном, непосредственно соединявшим математику с ведущей естественной наукой того времени астрономией, с календарем и гномоникой, наукой о солнечных часах, широко распространенных в мусульманских городах, где небо редко и недолго бывает покрыто облаками. Проблемы тригонометрии стимулировали развитие других отделов математики, особенно различных методов приближенных вычислений.

Тангенс, котангенс ( и косеканс ) появились вначале не в качестве линий, связанных с кругом, а в гномонике, при сравнении сторон прямоугольного треугольника. Если зафиксировать высоту вертикального шеста - гномона А, то отношение длины отбрасываемой им тени t и h меняется в зависимости от высоты Солнца α. Приняв h=60'=1, ал - Хабаш составил таблицу значений тени t для α =1°, 2°, 3°, с точностью до секунд. Эта таблица, т. е. таблица котангенсов t= hctga = ctg a,

Содержащаяся в только что упомянутых теоремах Евклида ( предложения 12 и 13 книги II « Начал ») важная теорема косинусов а 2 =b 2 + с 2 2bc cos A осталась как - то в стороне, правда, к ней подходили не раз. Ал - Бируни даже сформулировал ее мимоходом в одной задаче, не придав ей большого значения. Много позднее ал - Каши выразил квадрат стороны а при данных b, с, А в виде а 2 = (b± с cos A) 2 + с 2 sin 2 С

Аппарат тригонометрических формул оставался все время незначительным. Иногда важные и простые зависимости не высказывались с четкостью, достаточной, чтобы приобрести характер правил или теорем. Например, ал - Каши дает с целью вычисления площади треугольника правило вычисления радиуса вписанного круга Отсюда сразу следует формула и тем не менее ал - Каши не формулирует отдельного правила вычисления площади по двум сторонам и углу между ними.

« Канон Мас ' уда » очень важен для истории тригонометрии. В нем автор подвел итоги работам многочисленных предшественников и собственным наблюдениям и вычислениям. В « Каноне » 11 книг.

Решение треугольников нуждается в тригонометрических таблицах. Такие таблицы входили в состав так называемых зиджей. Слово зидж, взятое из персидского языка, означало по - арабски собрание таблиц для астрономов и географов.

В зидже Мухаммеда ибн Мусы ал - Хорезми имелись шестидесятеричные таблицы синусов через 1° с тремя знаками ( при радиусе, равном 60) и таблицы котангенсов с одним дробным знаком Зидж ал - Хаба - ша ал - Хасиба содержит значения синусов, тангенсов, котангенсов, синусов - верзусов и косекансов через 1° с той же точностью.

Точность первых арабских таблиц была примерно та же, что и в таблице хорд Птолемея. Способ вычисления таблиц Птолемея дает чувствительную погрешность уже в терциях. Новый более точный и гибкий прием вычисления таблиц предложил Абу - л - Вафа. Это также некоторый интерполяционный прием, позволяющий при вычислении sin 34° обойти решение уравнения трисекции угла и получить достаточно близкие оценки снизу и сверху.

Выдающиеся тригонометрические расчеты произвел ибн Юнис в « Зидж ал - Хакими », названном так в честь каирского эмира ал - Хакима. Ибн Юнис самостоятельно вычислил синус 1°, несколько улучшив способ Птолемея. Прежде всего ибн Юнис исходит из более близких к 1° значений аргумента. По sin 18° и sin 15° вычисляются sin9/8 и sin 15/16. Получающиеся при этом по способу Птолемея границы для sin 1° отличаются только на 5"' 6 IV далее ибн Юнис разделил эту величину на части пропорционально отношению разностей дуг (9/8-1)(1-5/16)=2:1 и получил таким путем sin 1° = 1;

Особый интерес представляет метод приближенных вычислений ал - Бируни. Погрешность вычислений Абу - л - Вафы и Птолемея зависит от исходных значений выбранных синусов и их разностей, и они не образуют последовательности приближений, сходящейся к точному значению искомой величины. Ал - Бируни применял различные способы последовательных приближений, погрешность которых может быть сделана сколь угодно малой.