Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях Применение теории игр в политике и экономике © Рей А.И.,

Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях У игр в нормальной форме может и не быть равновесия по Нэшу в чистых стратегиях:У игр в нормальной форме может и не быть равновесия по Нэшу в чистых стратегиях: Игра «Недоросль» (0;0)(-1;1) НЕ ПОМОГАТЬ (-1;3)(3;2) ПОМОГАТЬ Родители НЕ УЧИТЬСЯУЧИТЬСЯ Митрофанушка

Решение проблемы На практике (игра «Недоросль»)На практике (игра «Недоросль») –изменить правила игры, улучшить контроль и мотивацию (платежи). В теорииВ теории –ввести понятие смешанной стратегии.

Смешанная стратегия df Вероятностное распределение на пространстве действий игрока NB для каждого информационного множества Число действий: конечно (счетно) дискретное распределениеконечно (счетно) дискретное распределение (Камень – ¼; Ножницы – ¼; Бумага – ½) несчетно непрерывное распределениенесчетно непрерывное распределение

Теорема Нэша (1950) Ref J.F.Nash. Equilibrium Points in N-Person Games. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, vol.36, pp.48– У каждой конечной игры существует равновесие в смешанных стратегиях

Расчет равновесия в смешанных стратегиях Алгебраический методАлгебраический метод –оптимизация –уравнения безразличия Графический методГрафический метод

Алгебраический метод

Игра 2 лиц в НФ: исходы Б Б1 : βБ1 : βБ1 : βБ1 : β Б2 : (1-β) А A1 : α α β α (1-β) A2 : (1-α) (1- α)β (1-α)(1- β)

Алгебраический метод Уравнения безразличия:Уравнения безразличия: –удалить те стратегии каждого игрока, которые доминируются другими стратегиями –в равновесии в смешанных стратегиях игроку (скажем, А) безразлично, какую чистую стратегию играть, если игрок Б придерживается оптимальной смешанной стратегии –приравнять друг другу ожидаемые платежи от чистых стратегий игрока А –найти из системы вероятность чистой стратегии игрока Б –повторить то же самое по аналогии для игрока Б

Алгебраический метод

Смысл смешанной стратегии в однократной игре «Неужели нужно в самом деле бросать монету?»«Неужели нужно в самом деле бросать монету?» –Теория влияет на поведение –Ненаблюдаемые психологические факторы как источник случайности Равновероятные действияРавновероятные действия Слишком много равновесийСлишком много равновесий –Проблема выбора не решена –Симметричные равновесия интуитивно понятные и относительно устойчивые

Криптография Противник не дремлетПротивник не дремлет ENIGMA (~1920–1945, «дружественные» США державы до 1960-х гг.)ENIGMA (~1920–1945, «дружественные» США державы до 1960-х гг.) –предсказуемость и шаблонность текстов –зашифровка одного текста двумя ключами –M-209, Typex, «красный», «пурпурный» Venona (1941–1945)Venona (1941–1945) –одноразовый блокнот использовался несколько раз РАНДОМИЗИРУЙТЕ!РАНДОМИЗИРУЙТЕ!

Корпус морской пехоты США «…мы должны действовать по осям, которые предполагают несколько вариантов поведения, держа противника в неведении относительно того, какой вариант мы выберем.» FMFM 1 (Warfighting), United States Marine Corps, 1989.

Задания на дом Решить «камень–ножницы–бумага» двумя алгебраическими способамиРешить «камень–ножницы–бумага» двумя алгебраическими способами Найти равновесие в смешанных стратегиях (см.след.слайд)Найти равновесие в смешанных стратегиях (см.след.слайд)

Задания на дом Б Б1Б2Б3 А А10;42;20;4 А22;120;84;2 А310;00;42;2