1 1. ВВЕДЕНИЕ К КУРСУ МАТЕМАТИКИ

2 Зародилась математика в глубокой древности: вавилоняне и египтяне во втором тысячелетии до нашей эры обладали развитыми сведениями в области арифметики и геометрии; в VIIV веках до н.э. в Древней Греции уже сложилась система арифметических и геометрических знаний Математика как наука математика матема 1.1. Математика как наука Слово математика происходит от греческого названияматема (µαθηµα)знание, наука.

3 Математика Моделью Математическая модель Математика - это наука, исследующая пространственные формы, количественные отношения, аксиоматические структуры и вопросы доказательства путем построения абстрактных моделей действительного мира. Моделью реального объекта, процесса, явления называется описание его существенных свойств с помощью научных методов. Математическая модель - это абстрактная модель, основанная на математических понятиях и математической символике, т.е. модель описывается на языке формул, функций, уравнений, неравенств и алгоритмов.

4 Для построения математических моделей реального мира математика совершенно абстрагируется от конкретных физических свойств предметов и явлений, исследует только сами количественные отношения, пространственные формы, теоретико-множественные структуры. Метод абстракции позволяет применить одни и те же математические теории к исследованию величин, объектов, процессов самой различной природы и сложности. Этому способствует появившаяся в последние десятилетия мощная электронная вычислительная техника. Необходимость массовых вычислений способствует развитию вычислительных алгоритмов и программирования. Сегодня математические методы проникают во все отрасли человеческого знания и техники.

5 Вероятностно-статистические методы математики математической лингвистики Кибернетика Математизация Бурный рост производств, техники, вызвал соответственно расширение области применения математики в различных науках. Вероятностно-статистические методы математики широко применяются в экономике, биологии, социологии, экологии, медицине. Необходимость машинного перевода с одного языка на другой привели к появлению новой науки - математической лингвистики. Кибернетика - наука об управлении - использует весь спектр математических знаний. Математизация характерная черта любой современной отрасли знаний. Особенно велика роль математики в естествознании и технике Применение математики

6 В отличие от моделей в других науках, дающих лишь качественное описание явлений, математические модели позволяют получить количественный прогноз, т.е. описать явление более точно, вскрыть закономерности его развития, анализировать причинные связи, предсказывать ход и варианты развития. Несколько классических примеров такого рода: Открытие планеты Нептун. Движение Урана отклоняется от расчетного. Французский ученый Леверье ( ) нашел, что расхождения можно устранить, если допустить существование еще одной планеты с определенной массой и траекторией. Открытие элементарных частиц. Первые вычислительные машины с программным управлением появились в 1943 году США. Конструкцию таких машин английский профессор Ч. Бэббедж ( ) предложил в начале 19 века, а теоретические основы машинных операций, теории алгоритмов были проделаны английским математиком Аланом Тьюрингом ( ) в 30-х годах 20 века. Анализируя систему уравнений общей теорией относительности А.Эйнштейна ( ), русский ученый А.А. Фридман ( ) нашел ее нестационарное решение. Практическое подтверждение этого факта было дано в 1929 году американским астрономом Хабблом ( ) - явление красного смещения.

7 Математика несет в нашей жизни следующие три функции: средство расчета; универсальный язык науки; метод исследования.

Источники математических понятий Практика является источником математических знаний: математика строит свои основные абстрактные понятия на основе исследования конкретных задач природы, производства, жизни общества и т.д. Потребность решения практических задач - основной стимул, побуждающий вводить новые математические понятия и теории. Однако построенная математическая теория может далее развиваться по своим внутренним законам без опоры на практику: сама выдвигать нерешенные задачи, обобщать понятия и теории, строить альтернативные теории. Эти математические знания появляются без непосредственной опоры на практику. Практические корни новых математических знаний в конечном счете прослеживаются в прошлом. Примером может быть понятие математической структуры. Простейшей структурой является структура множества вещественных чисел - континуума.

9 Проблема истинности математических знаний старая философская проблема. Критерием истинности всякой науки является практика. Математические знания, созданные для решения практических задач, практикой и проверяются. В математике критерий практики, как критерий истинности, может проявляться специфически. Математики, в отличие от физиков, не располагают экспериментальными лабораториями. Они могут строить математические теории, не имея в виду их непосредственное практическое применение. Как же проверяется их истинность? Если математик исходит из фактов, положений, истинность которых проверена ранее, или из непротиворечивой системы положений (аксиом), то выводы, полученные логически правильно, будут истинными. Это происходит потому, что сами правила логического вывода проверены всей практикой человечества.

10 формальной логики Законы формальной логики наиболее полно сформулированы великим древнегреческим ученым Аристотелем ( г.г. до н.э.). Закон тождества. Один и тот же термин в процессе доказательства должен использоваться в одном и том же смысле. ( А есть А) Закон противоречия. Два противоположных суждения A, не могут быть одновременно истинными. Закон исключенного третьего. Из двух отрицающих друг друга суждений одно непременно истинно (другое ложно, третьего суждения быть не может). Достаточного основания. Всякое положение, суждение для того, чтобы считаться истинным, должно быть доказано.

11 Существуют внутриматематические критерии истинности выводов, непосредственно не опирающиеся на критерий практики: Истинность, непротиворечивость исходных предпосылок Безошибочность доказательства. Строгость рассуждений. Строгость рассуждений как критерий истинности играет большую роль в математике, так как в процессе доказательства могут быть использованы не вполне проверенные данные, выводы, интуитивные соображения, опорой может служить нестрого построенная теория. Истинность получаемых таким образом выводов сомнительна, если не будет найдено строгое доказательство.

12 Само понятие строгости математического доказательства исторично. С течением времени требования к строгости выводов ужесточались и ужесточаются до сих пор. Так, в доантичной математике (Египет, Вавилония) общие положения формулировались в виде правил бездоказательно. Приводились лишь примеры. В античной Греции появились доказательства общих положений. Это ярко видно на примере Евклида, построившего здание геометрии того времени на системе аксиом и постулатов. По-видимому, необходимость, доказательств вообще, и в математике в частности, появилась в связи со сменой диктаторских режимов демократическими. Сатрапам ничего не нужно было доказывать, а демократические ораторы свои высказывания обосновывали (гипотеза российского математика Б. В. Гнеденко).

13 В эпоху зарождения аналитической геометрии и математического анализа доказательство аналитического факта на основе чертежа считалось нормальным. Впоследствии такое доказательство не стало считаться строгим, так как обнаружились функции, не имеющие наглядного графика. Все выводы дифференциального и интегрального исчисления, полученные до и после И.Ньютона ( ) и Г.Лейбница ( ) не являлись строгими с современной точки зрения, пока не стали основываться на четком понятии предела, сформулированного французским математиком О.Коши ( ) в 1821 году в его курсе анализа. Масса ложных результатов в анализе, полученных до Коши, дискредитировала анализ бесконечно малых.

14 Необходимость общей надежной конструкции всех математических теорий стала ощущаться в XX веке. Такой конструкцией, дающей истинные результаты, в настоящее время считается конструкция, построенная на аксиоматической основе. Ее называют математической структурой. По мнению ученых, такое построение математических знаний позволяет изгнать всякие нематематические, интуитивные соображения, сделать теорию более формальной и, следовательно, надежной. Однако такая точка зрения разделяется далеко не всеми, особенно математиками- прикладниками. Структуризация теорий, по их мнению, сковывает развитие теории, отрывает от действительности, затрудняет понимание в силу отсутствия наглядности и непосредственной опоры на практику.

15 Большинство математиков склоняется к мысли о единстве математики. Под элементарной математикой понимается математика, изучающаяся в средней школе. Вся остальная математика условно может быть названа высшей. Конструктивная математика и нестандартный математический анализ по-разному строят теорию вещественных чисел, отличную от традиционной. На этой основе строятся дальнейшие математические знания Единство математики

16 Можно указать общее, объединяющее у всех этих частей математики: Дедуктивный (доказательный) абстрактный метод построения знаний. Общность математических понятий и символики. Наметившаяся тенденция аксиоматизации всех математических знаний. Все указанные части охватываются одним и тем же определением математики.

17 Математика как дисциплина отличается от математики как науки прежде всего наличием технологии преподавания, к которой относятся методика преподавания, учебно - методические пособия, вычислительная лаборатория, учебные планы и программы. Основными целями преподавания математики во втузе являются математические знания и умения, развитие и мышление, достаточные для решения задач по будущей технической специальности Математика как дисциплина высшего технического учебного заведения (втуз)

18 Математика втуза должна, в первую очередь, обеспечить потребности общенаучных дисциплин физики и механики. Ее положение среди дисциплин втуза можно изобразить цепочкой: Математика, как и всякая дисциплина, имеет свой базис. Его составляют в математике базисные понятия (число, уравнение, множество, производная, интеграл и т.д.), основные задачи, возникающие на основе базисных понятий, и базисные методы решения основных задач.

Краткие исторические сведения о развитии математики Начало зарождения математики невозможно отметить. Счет предметов появился вместе с человеком. Постепенно отдельные математические факты складывались в систему. Элементарная геометрия, приблизительно в том виде, в каком мы видим ее сейчас в школьных учебниках, сложилась в VI-III веках до н.э. в античной Греции. Наиболее полно в то время она была изложена в трудах александрийского математика Евклида.

20 Отдельными сведениями в области алгебры обладали еще вавилоняне, но зарождение элементарной алгебры, как науки, относят обычно к началу IX века н.э., когда хорезмский математик Мухаммед бен Муса аль- Хорезми опубликовал свой труд Китаб аль-Джебр валь- Мукабала. Название в переводе означает: книга об операциях джебр (восстановления) и кабала (приведения). Первая операция означает перенос членов уравнения из одной стороны в другую, вторая приведение подобных членов уравнения. Название первой операции дало имя науке - алгебре. Имя автора аль- Хорезми сохранилось в слове алгоритм. Арабские математики IX-XI вв. н.э. внесли значительный вклад в развитие приемов решения алгебраических уравнений первых трех степеней.

21 Заметные результаты в области алгебры у европейских математиков появляются лишь в эпоху возрождения. К концу XVI века в Европе сформировалась алгебра как наука о решении уравнений (первых четырех степеней). Появилась удобная алгебраическая символика, главным образом благодаря трудам французского математика Франсуа Виета ( ). Тригонометрия возникла в связи с астрономическими исследованиями еще в античной Греции. Тригонометрия как отдельная наука отделилась от астрономии лишь к XVI веку. Над составлением таблиц всех шести тригонометрических функций трудилась большая плеяда ученых, среди которых Н. Коперник ( ), И.Кеплер ( ) и их ученики. Общее учение о тригонометрических функциях и их свойствах сложилось позднее в XVII, XVIII веках. Вклад в эту работу внес петербургский математик Леонард Эйлер ( ).

22 Согласно периодизации российского математика А. Н. Колмогорова ( ) к началу XVII века закончился период элементарной математики [4]. В XVII, XVIII веках закладывается капиталистический, более прогрессивный, чем феодальный, способ производства. Наблюдается быстрое развитие техники и естествознания. Возникают многочисленные задачи, для решения которых средства и частные методы элементарной математики уже недостаточны. Под давлением практической необходимости в математике разрабатываются новые, общие, мощные методы, основанные на понятиях переменной величины и функциональной зависимости. Рождается новая математика математика переменных величин. С этих позиций элементарную математику можно было бы назвать математикой постоянных величин.

23 Зарождение новой математики началось с создания аналитической геометрии и математического анализа. Аналитическая геометрия в основном была разработана французскими математиками Рене Декартом ( ) и Пьером Ферма ( ). Аналитическая геометрия, благодаря методу координат, позволила, с одной стороны, посредством алгебраических выкладок легко доказывать геометрические теоремы, а с другой, в силу наглядности геометрических представлений, иллюстрировать свойства функциональных зависимостей. В математику вошли идеи - движения и изменения.

24 Математический анализ зарождался на основе глубокого синтеза геометрических и алгебраических методов. Основоположниками дифференциального и интегрального исчисления, которое и составляет основу математического анализа, являются Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц. Эти великие ученые, развивая труды своих предшественников в этой области - П.Ферма, Б.Паскаля ( ), Б. Кавальери ( ) и других, практически одновременно и независимо пришли к фундаментальным понятиям производной и интеграла в годы XVII столетия.

25 Новое исчисление дало четкую трактовку геометрическим понятиям касательной к кривой и площади фигуры, таким важнейшим понятиям механики, как скорость, ускорение, путь. Основные законы механики и физики записываются в виде дифференциальных уравнений. Задача интегрирования этих уравнений становится одной из важнейших в математике. В этот период К.Гауссом ( ) была доказана основная теорема алгебры о существовании корня алгебраического уравнения. Период математики переменных величин можно очертить рамками XVII в. середина XIX в.

26 Периодом современной математики условно считается промежуток с середины XIX века по настоящее время. В этот период на базе понятия предела, введенного Коши, происходит дальнейшее развитие понятий производной, интеграла, появляется функциональный анализ. Велики успехи в алгебре. Большое значение приобретают проблемы оснований математики, под которыми понимается комплекс математических, логических и философских проблем, ставящих задачу надежного обоснования существующих математических теорий. Для этой цели создаются новые математические теории теории вещественных чисел, теория множеств, математическая логика, совершенствуется аксиоматический метод.

27 К середине XIX века в математике сложилась парадоксальная ситуация. Огромное хорошо работающее здание математики базировалось на нечетком, интуитивном представлении о числе. Появилось сразу несколько теорий вещественных чисел, связанных с именами немецких математиков Р. Дедекинда ( ), Г. Кантора ( ), К. Вейерштрасса ( ). Однако эти теории столкнулись с серьезными философскими трудностями осмысления понятий актуальной и потенциальной бесконечностей. Появилась и конструктивная теория чисел, которая исходит из признания только потенциальной бесконечности, отрицает логический закон исключенного третьего и доказательство от противного. Основоположником интуиционизма (так на западе называют конструктивный математический анализ) является голландский математик Л. Брауэр ( ).

28 Созданная Г. Кантором теория множеств стала широко применяться практически во всех математических теориях, но и она столкнулась с парадоксами, которые полностью не преодолены и в настоящее время. Теория математического доказательства привлекала внимание математиков всех поколений. Однако систематические основы в области математической логики заложены лишь в XIX, XX веках. Это, прежде всего, работы английского ученого Джорджа Буля ( ) и крупнейшего немецкого математика Давида Гильберта ( ).

29 В XX веке под влиянием успехов абстрактной алгебры появилось отчетливое понимание математической структуры как аксиоматически построенной конструкции множества с заданными соотношениями между элементами. Построению и исследованию математических структур посвящены работы коллективного автора Никола Бурбаки (работы ). Проблема совершенствования оснований математики решается до сих пор. В XX веке наблюдается бурное развитие теории вероятностей, математической статистики, теории случайных функций и их приложений. В новых математических теориях, например, в математической физике, методы дифференциальных уравнений переплетаются с методами абстрактной алгебры, функционального анализа, что придает большую общность теориям, позволяет решать большее число задач.

Развитие математики в России Начало математических исследований в России связано с деятельностью Петербургской академии наук и с именем Л. Эйлера, оставившего серьезный след почти во всех областях математики. За время жизни им написано свыше 850 сочинений по математике и другим наукам. В Петербурге работали известные математики Николай и Даниил Бернулли ( ), Христиан Гольдбах ( ). Развитие математики в России тесно связано с деятельностью возникших университетов Московского (1755г.), Казанского и Харьковского (1804г.), Петербургского (1819г.) и других.

31 Воспитанник, а впоследствии ректор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский ( ) проложил новые пути в геометрии. До Лобачевского ученые были уверены в возможности только одной геометрии геометрии Евклида с ее постулатом о параллельных. Лобачевский своим открытием новой неевклидовой геометрии, столь же свободной от противоречий, и столь же правомерной, как геометрия Евклида, разрушил догму о единственности последней. Труды Лобачевского вызвали переворот в математике, повлекли за собой критический пересмотр основ науки и послужили толчком для развития аксиоматического метода.

32 Петербургский математик М. В. Остроградский ( ) известен своими работами в области математического анализа и математической физики. П. Л. Чебышев ( ) является основоположником Петербургской научной математической школы. Его значительные собственные результаты лежат в четырех областях математикитеории чисел, теории вероятностей, теории интегрирования, теории наилучшего приближения функций. Ученики Чебышева - А.А.Марков ( ), А.М.Ляпунов ( ) известны своими крупными работами в области теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений, математической физики.

33 Большую роль в развитии математики в России сыграли Московский университет и Московское математическое общество (основано в 1864 г.), воспитавшие таких блестящих математиков, как Н.Н.Лузин ( ), А.Н.Колмогоров, П.С.Александров ( ), работавших в области теории функций, функционального анализа, топологии. Идеи теории функций и теории меры положены в основу современной теории вероятностей. Это было сделано А.Н.Колмогоровым в 1933г. С этих пор теория вероятностей стала строгой аксиоматизированной наукой. Современные математики России работают практически во всех областях математики. Их работы публикуются в многочисленных математических журналах.