Учитель математики: Банькова Наталья Валерьевна

Цель нашего урока: Повторить виды уравнений с одной переменной и закрепить умения и навыки решения уравнений различными способами. «Уравнение - это золотой ключ, открывающий все матема- тические сезамы». Станислав Коваль

Рациональные уравнения Целые уравнения Дробные рациональные уравнения Линейные уравнения Квадратные уравнения Неполные Приведённые Биквадратные Уравнения третьей степени

Задание 1: х 3 – 16х = 0; х 4 - 7х = 0; 5. х 3 + 3х 2 – 2х – 6 = 0; 6. 2 – 3(х + 2)=5-2х; х 2 -8х + 7=0; 9. (х 2 +4х)( х 2 +4х - 17)= х 2 = 0

1. Решение: ОДЗ: 3(х-2)(х+2) 0 х - 20 и х+20 х2 х-2 (6-х) – 2 3 (х + 2)= 3(х ² - 4 ), 6 – х - 6х – 12 = 3х² - 12, - 3х² - 7х +6 =0, 3х² + 7х - 6 =0, D = 7² - 4 3(-6) = =121>0, 2 корня х = = -3, х =. корень уравнения Ответ : -3;.

2. Решение : Разложим левую часть уравнения на множители х(х ² - 16 )=0, х(х - 4)( х + 4) = 0, х = 0 или х - 4 = 0 или х + 4 =0 х = 4 х = -4 Ответ: -4; 0; 4. х 3 – 16х = 0

Решение: ОЗ: 15+х 2х = х, 2х – 3х = 45, -х = 45, х = -45. Если х = -45, то 15+(-45)= -300, значит х = -45 – корень уравнения. Ответ :

Решение : Решение: х - 7х² +12 = 0 Пусть х² = t, t >0, тогда t² - 7t + 12 = 0, По теореме обратной теореме Виета t + t = 7, t t = 12, t = 3; t = 4. х² = 3 или х² = 4 х = -, х = -2, х = х = 2. Ответ : - ; ; -2; х 4 - 7х = 0

5. х 3 + 3х 2 – 2х – 6 = 0 Решение : Воспользуемся методом группировки ( х 3 + 3х 2 ) – (2х + 6) = 0, х 2 (х + 3) – 2(х + 3) = 0, (х + 3)(х 2 - 2)=0, х + 3 =0 или х 2 - 2=0 х = -3 х 2 = 2 х = ±2 Ответ: -3; - 2; 2.

6. 2 – 3(х + 2)=5-2х; Решение: 2 - 3х – 6 = 5 – 2х, -3х + 2х = 6 – 2 + 6, -х = 10, х = -10. Ответ: х = - 10.

7. Решение: 2(х -4) + 3х = 30; 2х – 8 + 3х = 30; 5х = 38; х = 7,6. Ответ: х = 7,6. 6

8. Решение: по теореме обратной теореме Виета: х + х = 8, х х = 7. х =1, х = 7. Ответ: 1;7. х 2 - 8х + 7=0

Решение: (х² + 4х)(х² + 4х - 17) = -60, Пусть х² + 4х = t, тогда t (t - 17) = - 60, t² - 17t + 60 = 0, По теореме обратной теореме Виета: t + t = 17, t t = 60, t = 5; t = 12. х² + 4х = 5 или х² + 4х = 12 х² + 4х -5 = 0 х² + 4х -12 = 0 По теореме обратной теореме Виета: х + х = -4, х + х = -4, х х = -5, х х = -12, х = -5; х = 1, х = -6; х = 2 Ответ : -6; -5; 1; (х² + 4х)(х² + 4х - 17) = -60

10. Решение : Разложим левую часть уравнения на множители (5 – 10х)(5 + 10х) = 0, 5 – 10х =0 или х = 0 -10х = х = - 5 х = 0,5 х = -0,5 Ответ: -0,5; 0, х 2 = 0

Задание 3. Назовите число корней уравнения a x 2 + b x+ c =0 и знак коэффициента а, если график соответствующей квадратичной функции расположен следующим образом: е а бв гд

Франсуа Виет Франсуа Виет ( гг.) - французский математик. В 1591г. ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Для приближённого решения уравнений с численными коэффициентами Виет предложил метод, сходный с позднейшим методом Ньютона. В тригонометрии Виет дал полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольника по трём данным, нашёл важные разложения cos nх и sin nх по степеням cos х и sin х. Виет впервые рассмотрел бесконечные произведения.

Рене Декарт ( ) - французский ученый. Его увлечением в основном была наука, больше всего он увлекался математикой, которая привлекла его достоверностью своих выводов. Декарт впервые ввел понятие переменной величины и функции. Двоякий образ переменной обусловил взаимопроникновение геометрии и алгебры, к которому стремился Декарт. Он ввел общепринятые теперь знаки для переменных и искомых величин (x, y, z,...) и для буквенных коэфф. (а, b, c,...). Записи формул алгебры почти не отличаются от современных. Большое значение для формулировок общих теорем алгебры имело запись уравнений, при которой в одной из частей стоит 0. Декарт положил начало исследованию свойств уравнений; сформулировал положение о том, что число действительных и комплексных корней уравнения равно его степени. Декарт сформулировал правило законов для определения числа положительных и отрицательных корней уравнения; доказал, что уравнение третьей степени разрешимо в квадратных радикалах и решается с помощью циркуля и линейки. Рене Декарт

Выдающиеся итальянские математики XVIвека Фиоре Николо Тарталья (ок ) Сципион дель- Ферро ( )

«Проверь себя» Критерии оценок: «3» - 2 уравнение «4» - 3 уравнения «5» - 4 уравнения

Уровень А Решите уравнение: 1. Укажите отрицательный корень уравнения 5х² + 7 (х - 2) = 4х² (11+2,5х)=12-6(х+2) х³ + 3х² - 4х – 12 = (х² - 7х +13)² – (х - 3) (х - 4) = 1. Проверь себя! Уровень В Проверь себя!

1. Укажите отрицательный корень уравнения 5х² + 7 (х - 2) = 4х² Ответ: х = -7. Проверь себя! Уровень А

1. Укажите отрицательный корень уравнения 5х² + 7 (х - 2) = 4х² Решение: 5х² + 7 (х - 2) = 4х² - 14, 5х² + 7х -14 = 4х² - 14, 5х² - 4х² + 7х =0, х² + 7х = 0, х(х + 7) = 0, х = 0 или х + 7 = 0, х = - 7. Ответ: х = -7. Проверь себя! Уровень А

Проверь себя! Уровень А 2. 2(11+2,5х)=12-6(х+2) Ответ: х = -2.

2. 2(11+2,5х)=12-6(х+2) Решение: х = 12 – 6х – 12, 5х + 6х = 12 – 12 – 22, 11х = -22, х = -2. Ответ: х= -2. Проверь себя! Уровень А

3. Ответ: -3. Проверь себя! Уровень А

Проверь себя! 3. Решение: ОЗ: (х-1)(х+2) 3х(х + 2) – 2х(х - 1)= 3х – 6, 3х ² + 6х – 2х² + 2х -3х + 6 =0, х ² + 5х + 6 =0 D= 5 ² -4 6 = 1>0, 2 корня. х = = -3, х = = -2. Если х = -3, (-3-1)(-3 + 2) = 4 0, значит х = -3 – корень уравнения. Если х = -2, (-2 + 1)(-2 + 2)=0, значит х = -2 не является корнем уравнения. Ответ : -3. Уровень А

4. Проверь себя! Ответ : -3; -2; 2. Уровень В

4. Проверь себя! Решение: х³ + 3х² - 4х – 12 = 0, (х³ + 3х² ) – (4х + 12) = 0, х²(х + 3) – 4(х + 3) = 0, (х + 3) (х² - 4) = 0, х + 3 = 0 или х² - 4 = 0, х = -3 (х - 2)(х + 2) = 0, х – 2 = 0 или х + 2 = 0 х = 2 х = - 2 Ответ : -3; -2; 2. Уровень В

5. Проверь себя! Ответ : 3; 4. Уровень В

5. Проверь себя! Решение: (х² - 7х +13) ² – (х - 3) (х - 4) = 1, (х² - 7х +13) ² – (х² - 7х +12 ) = 1, (х² - 7х +13) ² – (х² - 7х +12 ) -1 = 0, Пусть х² - 7х + 13= t, тогда t² - (t – 1) - 1 = 0, t² - t = 0, t² - t = 0, t (t - 1) =0, t = 0 или t -1 = 0 t = 1. х² - 7х + 13= 0 или х² - 7х + 13= 1 D = 49 – 4 13 = 49 – 52 = -3

Домашнее задание: 1) Работа по карточкам 2) Творческое задание. Составить кроссворд по теме: «Уравнения с одной переменной и методы их решения» Посредством уравнений, теорем Я уйму всяких разрешал проблем. Чосер, английский поэт, средние века.