Решение практико- ориентированных задач при подготовке к ГИА и ЕГЭ по математике

Переход к профильному обучению направлен на подготовку и сдачу ГИА и ЕГЭ учащихся; обеспечение углубленного изучения отдельных предметов; создание условий для дифференциации содержания обучения старшеклассников; обеспечение равного доступа к полноценному образованию разных категорий обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными наклонностями и интересами; расширение возможностей социализации учащихся.

УМК В нашем лицее математики используют комплект учебников под редакцией Макарычева Ю. Н. для углубленного изучения математики 7- 9 классов и Мордковича А. Г. для профильного обучения в классах.

Типы задач, предлагаемых на экзаменах 1. Задачи на движение: Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку); Задачи на движение по замкнутой трассе; Задачи на движение по воде; Задачи на среднюю скорость; Задачи на движение протяженных тел; 2. Задачи на производительность; 3. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии; 4. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы; 5. Задачи на проценты, части и доли; 6. Задачи на бассейны и трубы.

Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку): При решении таких задач удобно считать одно тело неподвижным, а другое – приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел ( при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). Такая модель помогает разобраться с условием задачи, получить нужные уравнения. Формулы, используемые для данных задач:

Задачи на движение по замкнутой трассе: Рассматривая движение двух точек по окружности длины s в одном направлении при одновременном старте со скоростями v1 и v2, причем v1 > v2, ответим на вопрос: через какое время первая точка будет опережать вторую ровно на один круг? Считая, что вторая точка покоится, а первая приближается к ней со скоростью v1 - v2, получим, что условие задачи будет выполнено, когда первая точка поравняется в первый раз со второй, при этом первая точка пройдет расстояние, равное длине одного круга, и искомая формула t=s/(v1-v2).

Задачи на движение по замкнутой трассе: Если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v1 и v2, причем v1 > v2, то первая точка приближается ко второй со скоростью v1 - v2 и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч. Решение: Пусть скорость велосипедиста х (м/мин), а мотоциклиста – у (м/мин), тогда за 10+30=40 минут велосипедист проедет 40х метров. (первая встреча). А еще через 30 минут мотоциклист догнал велосипедиста во второй раз Решая систему уравнений, получаем, что скорость мотоциклиста равна 80 (км/ч). Ответ: 80.

Задачи на среднюю скорость: При решении таких задач необходимо вспомнить из физики, что средняя скорость равна отношению пути, пройденному телом ко времени, за которое этот путь пройден. Если путь состоит из нескольких участков, то следует вычислить всю длину пути и все время движения и воспользоваться формулой

Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Решение:. S = =540 (км). T =190/50+180/90+170/100=7,5(ч). V = 540/7,5 = 72(км/ч). Ответ: 72.

Задачи на движение протяженных тел: При решении таких задач требуется определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация: определение длины поезда, проезжающего мимо столба или протяженной платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае – расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? Решение: Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью х(м/мин), равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Тогда за 12 минут второй сухогруз проходит расстояние L= =1200 (м). Поэтому х=1200/12=100 (м/мин), то есть 6 (км/час). Ответ: 6.

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы. Решение этих задач традиционно является слабым звеном в подготовке школьников к сдаче экзаменов. Ключевой идеей при решении таких задач является отслеживание изменений, происходящих с «чистым» веществом. Формула концентрации: Где a, b – количество литров в двух растворах, а n и m – процентное содержание водного раствора, к – концентрация получившейся смеси.

Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение: Используя формулу концентрации получившегося раствора, получим Ответ: 21.

Решение задачи с помощью метода «стаканов» Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41- процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение: Х 30% У 60% 10 0% Х+у+10 36% Х+у+10 41% 10 50% У 60% Х 30% Составим систему уравнений: 30х+60у+10*0=(х+у+10)*36, 30х+60у+10*50=(х+у+10)*41. Решая ее, получаем х=60, у=30. Ответ: 60.

Задачи на сложный процент: При решении таких задач можно использовать следующую формулу: где В – конечная величина, А – начальная величина, -процент изменения ( в десятичной дроби), n – количество периодов, «+» - повышение, «-» - снижение.

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через два года был продан за рублей. Решение: В=15842 руб, А= руб, n=2. Воспользуемся формулой, получим: = 11(%). Ответ: 11.

Выводы: Используемые нашими учителями УМК под редакцией Макарычева Ю.Н. и Мордковича А.Г. дают возможность решать подобные задачи и подготовиться к сдаче ГИА и ЕГЭ; Учителям необходимо прививать интерес к решению текстовых задач; Необходимо учащимся знать эти формулы наизусть; Учителям обязательно проводить элективный курс по решению задач.

Спасибо за внимание