Шар, вписанный в многогранник Шар называется вписанным в многогранник, если он касается всех граней данного многогранника

Центр вписанного шара равноудален от всех граней многогранника, следовательно лежит на пересечении биссекторных плоскостей.

Шар, вписанный в правильную треугольную призму A B C O2O2 O O1O1 A1A1 B1B1 C1C1 H H1H1 горизонтальное вертикальное

Вертикальное сечение Высота основания Высота боковой грани Боковое ребро r правильного треугольника R R A H O2O2 A1A1 H1H1 O назад

Горизонтальное сечение R а

Шар, вписанный в правильную четырехугольную призму (куб)

СЕЧЕНИЕ а R

горизонтальное вертикальное шестиугольную призму Шар, вписанный в правильную

ГОРИЗОНТАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ R R назад

Вертикальное сечение Диаметр вписанной окружности в шестиугольник R Высота призмы R R

горизонтальное вертикальное Шар, вписанный в прямую призму, в основании которой лежит ромб

ГОРИЗОНТАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ R назад

ВЕРТИКАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ Высота ромба R Высота боковой грани

Шар, вписанный в правильную треугольную пирамиду

ВЕРТИКАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ R R Высота основания Боковое ребро Апофема

Шар, вписанный в правильную четырехугольную пирамиду R R

ВЕРТИКАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ Диаметр окружности, вписанной в квадрат (равен стороне основания) R R Апофема

В любую пирамиду можно вписать шар. В прямую призму можно вписать шар, если в основание призмы можно вписать окружность и ее диаметр равен высоте призмы. R шара = r окруж., впис. в основание призмы. Шар, вписанный в многогранник

Сфера, описанная около многогранника Сфера называется описанной около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере.

Центр описанного шара лежит на перпендикуляре к плоскости основания, восстановленном из центра описанной около основания окружности. Если высота пирами попадает в центр основания, то центр шар лежит на высоте. R

Чтобы построить центр описанной сферы надо: 1)Найти центр окружности, описанной около основания многогранника (О 1 ) 2)Через точку О 1 провести прямую, перпендикулярную плоскости основания. 3)Через середину любого бокового ребра провести плоскость, перпендикулярную этому ребру. 4)Найти точку пересечения построенных прямой и плоскости. 5)Она и будет центром описанной сферы.

Сфера, описанная около правильной четырехугольной пирамиды

R r

Шар, описанный около правильной треугольной пирамиды М О А В С О1О1 Н R R R R

Шар, описанный около прямоугольного параллелепипеда А В С D D1D1 А1А1 B1 C1

ВЕРТИКАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ R R Диагональ основания Бокове ребро B B1B1 D1D1 D

Около любой пирамиды можно описать сферу. Около призмы можно описать сферу, если призма прямая и около ее основания можно описать окружность. Сфера, описанная около многогранника

Задача 1 M A B C D O O1O1 P x 3x 3

Задача 2 D A B C H O O1O1 P O2O

Задача 3 O

Задача 4 O A C C 1 B1B1 B A1A1 H 1 O 1 O 2 H R

Задача 6 D A B C O E F A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 3

Задача 6 А В С D D1D1 C1C1 B 1 А1А1 M N L O

O O1O1 A D C B F M K 6 3 Задача 7