«... нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира... » П. Лобачевский

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Лейбниц ввел термины : 1)«дифференциальное исчисление» 2)«интегральное исчисление»

Differentia по-латыни «разделение», «раздробление». Процесс дифференцирования состоит в замене функции на малом участке ее дифференциалом, т. е. кусочком ее касательной. Участкок,на котором производится замена, Лейбниц дал название «бесконечно малый». Процесс дифференцирования

Дифференцирование, по Лейбницу, это расчленение функции на бесконечно малые элементы. Integer по-латыни «целый»; интегрирование процесс объединения в целое малых элементов, из которых составлена фигура (нахождение площади, объема и т.п.).

Подход Лейбница был геометрическим: он стремился дать общий метод определения касательных к кривым и способ вычисления площадей фигур, ограниченных графиками функций.

Ньютон пришел к анализу, исходя из необходимости описывать движение тел и развитие различных процессов. Суть дифференцирования, по Ньютону, нахождение скорости тела по пройденному пути, интегрирование обратная операция, а именно восстановление пути по скорости.

Механический смысл производной заключается в том, что производная от координаты по времени есть скорость, а производная от скорости по времени -ускорение (t)=x (t) a(t) = (t) X -перемещение -скорость а –ускорение t-время

Материальная точка движется прямолинейно по закону X(t)=t³-4t².Найдите скорость и ускорение в момент t =5с (Перемещение измеряется в метрах) Решение: X(t)=t³-4t², t=5с =x (t)=3t²-8t (5)= =75-40=35м/с ; a(t)= (t)=6t-8 ; a(5)=65-8=30-8=22м/с² Ответ: 35м/с, 22м/с²

1) Охлаждение тела. 2) Радиоактивный распад. 3) Гармонические колебания. 4) Нахождение закона движения тела по его ускорению(скорости).

...быстрое охлаждением расплава в жидком азоте