Управление запасами- модель Вильсона Математические модели реальных процессов в природе и обществе Автор проекта: Автор проекта: Потапов Сергей, ученик 11 класса МОУ «Георгиевская СОШ» Руководитель: Руководитель: Зырянова Людмила Кузьминична учитель математики и информатики МОУ «Георгиевская СОШ» Адрес: Адрес: Омская область, Кормиловский район, с. Георгиевка ул. Ленина 9, МОУ «Георгиевская СОШ», телефон: Адрес электронной почты: 2009 г.

Международный конкурс "Математика и проектирование" В 2010 году моей школе исполняется 20 лет. Наш класс принял решение создать живой уголок природы. Это будет подарок от выпускников. Мы решили подарить аквариум с рыбками.

Международный конкурс "Математика и проектирование" Описание проблемы Известно, что по разным причинам рыбки часто погибают и их необходимо периодически покупать. Каким же образом осуществлять покупку аквариума и рыбок? Как часто и сколько покупать рыбок, чтобы ежедневные издержки оказались минимальными? Для решения этой проблемы мы решили использовать элементарную теорию управления запасами.

Международный конкурс "Математика и проектирование" аквариумные рыбки, их содержание и покупка. Объект исследования: аквариумные рыбки, их содержание и покупка. используется метод теоретического исследования- анализ, сравнение, обобщение. Методы исследования: используется метод теоретического исследования- анализ, сравнение, обобщение. на основе теоретического исследования элементарной теории управления запасами (самая простая модель-модель Вильсона) рационально спланировать содержание и покупку аквариумных рыбок. А также показать практическое применение этой теории. Результат: на основе теоретического исследования элементарной теории управления запасами (самая простая модель-модель Вильсона) рационально спланировать содержание и покупку аквариумных рыбок. А также показать практическое применение этой теории. Описание проблемы

Международный конкурс "Математика и проектирование" рассмотретьвозможности применения модели Вильсона для управления запасами на основе математических моделей, адаптированных к социально-экономическим реалиям жизни. Цель проекта: рассмотреть возможности применения модели Вильсона для управления запасами на основе математических моделей, адаптированных к социально-экономическим реалиям жизни. Задачи: 1. Изучить научно-теоретическую и методическую литературу по элементарной теории управления запасами (модель Вильсона). 2. Обработать и обобщить информацию, полученную в результате самостоятельного исследования. 3. Решить реальную задачу оптимизации, связанную с правильным планированием приобретения покупки. 4. Найти практическое применение этой теории.

Международный конкурс "Математика и проектирование" Об управлении запасами Математика может помочь планировать работу складов и магазинов. На складах и в кладовых хранятся самые разнообразные запасы: продукты питания, книги, одежда, строительные материалы и многое другое. Слишком много запасов - плохо, материалы лежат зря, а продукты могут испортиться. Слишком мало - может не хватить на всех, и слишком часто придётся привозить новые партии, гонять транспорт. Значит, надо рассчитать и использовать оптимальный размер запаса. Для этого необходимо построить соответствующую математическую модель. Эту задачу можно решить с помощью теории управления запасами.

Международный конкурс "Математика и проектирование" Теория управления запасами является крупной областью экономико-математических исследований, получившей свое развитие с пятидесятых годов. Классическая модель теории управления запасами Ф. Харрисома, называемая также моделью Вильсона (в связи с тем, что получила известность после публикации работы Р.Г.Вильсона в 1934 г.), несмотря на простоту, широко применяется и приносит большую пользу в экономической области. Теория управления запасами является крупной областью экономико-математических исследований, получившей свое развитие с пятидесятых годов. Классическая модель теории управления запасами Ф. Харрисома, называемая также моделью Вильсона (в связи с тем, что получила известность после публикации работы Р.Г.Вильсона в 1934 г.), несмотря на простоту, широко применяется и приносит большую пользу в экономической области. Математическая теория управления запасами

Международный конкурс "Математика и проектирование" Оптимальный план Для управления запасами необходимо составить оптимальный план, где все размеры партий равны и интервалы между поставками равны. Возьмём какой-нибудь план и попробуем его улучшить. Для управления запасами необходимо составить оптимальный план, где все размеры партий равны и интервалы между поставками равны. Возьмём какой-нибудь план и попробуем его улучшить. Q 0 Q 1 Q 2 …- количество продукции в партии t 0 t 1 t 2 …- время поставок y- запас продукции r - наклон звеньев, равный ежедневному спросу.

Международный конкурс "Математика и проектирование" Не выгодно иметь запас, когда приходит очередная партия. Если первый зубец опустить до оси t, чтобы величина запаса в момент прихода поставки Q 1 = 0, то затраты уменьшатся. Аналогично можно поступить с остальными зубцами. Не выгодно иметь запас, когда приходит очередная партия. Если первый зубец опустить до оси t, чтобы величина запаса в момент прихода поставки Q 1 = 0, то затраты уменьшатся. Аналогично можно поступить с остальными зубцами. Оптимальный план Q 0 Q 1 Q 2 …- количество продукции в партии t 0 t 1 t 2 …- время поставок y- запас продукции r - наклон звеньев, равный ежедневному спросу.

Международный конкурс "Математика и проектирование" Оптимальный план следует искать среди тех планов, у которых всезубцы доходят до оси абсцисс, имеют одинаковую высоту и интервалы между поставками равны. Оптимальный план следует искать среди тех планов, у которых все зубцы доходят до оси абсцисс, имеют одинаковую высоту и интервалы между поставками равны. Оптимальный план План, в котором размеры всех партий одинаковы и равны Q оптимальное,будем называть планом Вильсона. Мы можем определить величину поставок, зная моменты их прихода, используя необходимые формулы.

Международный конкурс "Математика и проектирование" Для начала рассмотрим, как получена формула Вильсона (EOQ - Economic order quantity). Со стандартными условиями и ограничениями она имеет следующий вид: Для начала рассмотрим, как получена формула Вильсона (EOQ - Economic order quantity). Со стандартными условиями и ограничениями она имеет следующий вид: Обозначения: A - затраты на размещение и выполнение заказа; S - годовая потребность в ресурсах; q - размер единовременной поставки; r - процентная ставка на хранение ресурсов (ставка дисконтирования); p - цена единицы закупаемых ресурсов. Обозначения: A - затраты на размещение и выполнение заказа; S - годовая потребность в ресурсах; q - размер единовременной поставки; r - процентная ставка на хранение ресурсов (ставка дисконтирования); p - цена единицы закупаемых ресурсов. Формула Вильсона

Международный конкурс "Математика и проектирование" Определение экономического размера заказа на поставку товара основано на минимизации общей стоимости двух видов затрат: затрат на хранение запасов, прямо пропорциональных размеру заказа и затрат на размещение заказа. Обозначения следующие С общ - суммарные затраты за определённый период времени (для упрощения расчётов, период времени обычно принимается равным одному году); С р - затраты на размещение заказа; С х - затраты на хранение ресурсов. Общие расходы на материальный поток определяются по следующей известной формуле: Обозначения следующие: С з - затраты на закупку ресурсов. В развернутом виде формула будет следующей: Формула Вильсона

Международный конкурс "Математика и проектирование" Оптимальный размер поставки может быть найден с помощью метода исследования функции, поиска её экстремума. Если указанную формулу суммарных затрат принять за функцию и последовательно изменять размер поставки q, то оптимальный размер поставки будет соответствовать минимальному значению суммарных затрат. С другой стороны, функция суммарных затрат является непрерывной и дифференцируемой на интервале (0; inf). Задача определения оптимального размера поставки, соответствующего минимальным суммарным затратам, заключается в поиске минимального значения функции путём исследования. Минимальное значение находится в точке её экстремума. Исследуем функцию на указанном интервале. Если продифференцировать её по q, то производная функции будет следующей: С другой стороны, функция суммарных затрат является непрерывной и дифференцируемой на интервале (0; inf). Задача определения оптимального размера поставки, соответствующего минимальным суммарным затратам, заключается в поиске минимального значения функции путём исследования. Минимальное значение находится в точке её экстремума. Исследуем функцию на указанном интервале. Если продифференцировать её по q, то производная функции будет следующей: Формула Вильсона

Международный конкурс "Математика и проектирование" Для того чтобы утверждать о нахождении экстремальной точки, первая производная функции должна иметь решение, а точка, в которой первая производная равна нулю, должна быть стационарной. Формула имеет следующий вид: Для того чтобы утверждать о нахождении экстремальной точки, первая производная функции должна иметь решение, а точка, в которой первая производная равна нулю, должна быть стационарной. Формула имеет следующий вид: Соответственно точка экстремума функции, минимум затрат и оптимальный размер поставки будут находиться в точке qопт. Решая уравнение относительно q, получим: Соответственно точка экстремума функции, минимум затрат и оптимальный размер поставки будут находиться в точке qопт. Решая уравнение относительно q, получим: Это и есть формула оптимального размера заказа (Economic order quantity) - формула Вильсона Это и есть формула оптимального размера заказа (Economic order quantity) - формула Вильсона Формула Вильсона

Международный конкурс "Математика и проектирование" Математический вывод формулы Вильсона важен для понимания некоторых её возможностей и ограничений. А понимание нужно, для того чтобы исключить ошибки, возможные при попытках практического применения расширенных возможностей, которые предоставляет эта формула. Математический вывод формулы Вильсона важен для понимания некоторых её возможностей и ограничений. А понимание нужно, для того чтобы исключить ошибки, возможные при попытках практического применения расширенных возможностей, которые предоставляет эта формула. Главный вывод, касающийся ограничений использования формулы EOQ, заключён в том, что функция затрат должна быть непрерывной и дифференцируемой на интервале (0; inf). Соответственно задача нахождения оптимального размера поставки будет решаться за один шаг. Изменение алгоритма расчёта, например для анализа системы скидок, приводит к тому, что в функции суммарных затрат появляются точки разрыва первого рода. Формально такая функция не подлежит дифференцированию. Решение задачи заключается в поиске минимальных значений суммарных затрат на каждом из интервалов между точками разрыва и в самих точках. Но этот метод уже будет называться не исследованием функции, а методом перебора значений. Вариантов же, которые нужно посчитать и сравнить между собой, будет ровно столько, сколько будет комбинаций самих параметров в формуле суммарных затрат. Главный вывод, касающийся ограничений использования формулы EOQ, заключён в том, что функция затрат должна быть непрерывной и дифференцируемой на интервале (0; inf). Соответственно задача нахождения оптимального размера поставки будет решаться за один шаг. Изменение алгоритма расчёта, например для анализа системы скидок, приводит к тому, что в функции суммарных затрат появляются точки разрыва первого рода. Формально такая функция не подлежит дифференцированию. Решение задачи заключается в поиске минимальных значений суммарных затрат на каждом из интервалов между точками разрыва и в самих точках. Но этот метод уже будет называться не исследованием функции, а методом перебора значений. Вариантов же, которые нужно посчитать и сравнить между собой, будет ровно столько, сколько будет комбинаций самих параметров в формуле суммарных затрат.

Международный конкурс "Математика и проектирование" Экспериментальная проверка полученных результатов Перейдём к описанию реальной ситуации, для принятия решения которой, мы построим математическую модель. Перейдём к описанию реальной ситуации, для принятия решения которой, мы построим математическую модель. В нашем аквариуме живёт 23 рыбки. Мы хотим, чтобы их число не падало ниже 20. В месяц (30 дней) погибает 3 рыбки. Затраты на содержание одной рыбки составляет примерно 1р. Для того чтоб купить рыбок нам нужно потратить 22 рубля на проезд. Каким же образом осуществлять покупку рыбок? Как часто и сколь покупать, чтобы ежедневные издержки оказались минимальными В нашем аквариуме живёт 23 рыбки. Мы хотим, чтобы их число не падало ниже 20. В месяц (30 дней) погибает 3 рыбки. Затраты на содержание одной рыбки составляет примерно 1р. Для того чтоб купить рыбок нам нужно потратить 22 рубля на проезд. Каким же образом осуществлять покупку рыбок? Как часто и сколь покупать, чтобы ежедневные издержки оказались минимальными

Международный конкурс "Математика и проектирование"