Второй признак подобия треугольников Теорема. (Второй признак подобия.) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 выполняются равенства Отложим на луче А 1 В 1 отрезок А 1 В', равный АВ, и проведем прямую B'C', параллельную В 1 С 1. Треугольники А 1 ВС и А 1 B 1 C 1 подобны (по первому признаку подобия треугольников), и имеет место равенство Из этого равенства и равенства А 1 В' = AB следует равенство А 1 С' = AC. Значит треугольники А 1 B'C' и АВС равны (по первому признаку равенства треугольников). Следовательно, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны.

Третий признак подобия Теорема. (Третий признак подобия.) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. На луче А 1 В 1 отложим отрезок А 1 В', равный АВ, и проведем прямую B'C', параллельную В 1 С 1. Из подобия треугольников А 1 ВС и A 1 B 1 C 1 следуют равенства Из равенства АВ = А 1 В' следуют равенства Значит, имеем равенства А 1 С 1 = АС', В 1 С 1 = B'C'. Таким образом, треугольники АВС и A 1 B'C' равны (по третьему признаку равенства треугольников) и, следовательно, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны. Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 стороны пропорциональны, т.е.

Вопрос 1 Сформулируйте второй признак подобия треугольников. Ответ: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Вопрос 2 Сформулируйте третий признак подобия треугольников. Ответ: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Упражнение 1 Подобны ли два треугольника, если их стороны имеют длины: а) 4, 5, 6 и 8, 10, 12; б) 3, 4, 6 и 9, 15, 18; в) 1, 2, 2 и 1, 1, 0,5? Ответ: а) Да;б) нет;в) да.

Упражнение 2 Будут ли подобны ли два равнобедренных треугольника, если у них равны углы при вершинах, противолежащих основаниям? Ответ: Да.

Упражнение 3 На рисунке OA=5, OB=16, OC=8 и OD=10. Будут ли треугольники OBC и ODA подобны? Ответ: Да.

Упражнение 4 Катеты одного прямоугольного треугольника на 3 см больше катетов другого прямоугольного треугольника. Подобны ли треугольники? Ответ: Нет, если только первый треугольник не является прямоугольным треугольником с катетами, равными 3 см.

Упражнение 5 Стороны одного треугольника равны 8 см, 6 см и 5 см. Меньшая сторона второго треугольника, подобного первому, равна 2,5 см. Найдите другие стороны второго треугольника. Ответ: 4 см, 3 см.

Упражнение 6 Стороны треугольника 12,6 м, 16,5 м и 18 м. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его меньшая сторона равна большей стороне данного треугольника. Ответ: 18 см, 23 см; 25 см.

Упражнение 7 На одной стороне угла А отложены отрезки АВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки АD = 8 см и АЕ = 10 см. Подобны ли треугольники АСD и АВЕ? Ответ: Да.

Упражнение 8 На стороне АС треугольника АВС взята точка D, такая, что ABD = ACB. Найдите стороны треугольника ABD, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 18 см. Ответ: 8 см, см и см.

Упражнение 9 Стороны треугольника равны 10, 15 и 20. Произведение сторон подобного ему треугольника равно 24. Найдите стороны второго треугольника. Ответ: 2, 3, 4.

Упражнение 10 Ответ: 15 см. В треугольнике ABC AB = 25 см, BC = 20 см и AC = 30 см. На стороне AB отложен отрезок BK = 4 см, а на стороне BC взята точка L таким образом, что угол BKL равен углу C. Найдите периметр треугольника BKL.

Упражнение 11 Ответ: Высота, опущенная из вершины прямого угла неравнобедренного прямоугольного треугольника. Высота какого треугольника делит его на два неравных подобных треугольника?

Упражнение 12 Ответ: Нет. Может ли медиана треугольника разделить его на два неравных подобных треугольника?

Упражнение 13 Ответ: LMN и LM 1 N 1 ; MNG и M 1 N 1 G. В треугольнике LMN проведены медианы MM 1 и NN 1, которые пересекаются в точке G. Найдите все пары подобных треугольников.

Упражнение 14 Доказательство. Прямоугольные треугольники AA 1 C 1 и BB 1 С подобны по трем углам. Значит, A 1 C : AC = B 1 C : BC. Следовательно, треугольники A 1 B 1 C и ABC подобны по второму признаку подобия треугольников. В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 и BB 1. Докажите, что треугольник A 1 B 1 C подобен треугольнику ABC.

Упражнение 15 Отрезок, соединяющий точки на боковых сторонах трапеции, делит эти стороны в отношении m : n. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны соответственно a и b. Решение. Пусть ABCD – трапеция (AB || CD), AE : ED = BF : FC = m : n, AB = a, CD = b (a > b). Через точку C проведем прямую, параллельную AD. Ее точки пересечения с прямыми EF и AB обозначим соответственно G и H. Треугольник CFG подобен треугольнику CBH с коэффициентом подобия n : (n + m). Так как BH = a – b, то Следовательно,

Упражнение 16 Можно ли вписать в окружность два неравных подобных треугольника? Ответ: Нет, так как в таких треугольниках должны быть равны соответствующие углы, которым должны соответствовать равные дуги, следовательно, равны и хорды, т.е. равны стороны треугольников, значит, треугольники равны.