В. Я. Демиховский, Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского, г.Нижний Новгород XIX Уральская школа по физике полупроводников, 2012 г. Состояний типа «шредингеровский кот» в полупроводниках и низкоразмерных структурах

Как реализовать суперпозицию состояний «мертвый- живой» кот?

Сложные когерентные состояния

Энергетический спектр и характерные времена эволюции Разложение энергетического спектра в ряд Тейлора вблизи энергии - период классических осцилляций - время восстановления пакета - время дробного восстановления - период Zitterbewegung

Электронный волновой пакет в ридберговском атоме Энергетический спектр: Собственные функции: Локализованный волновой пакет в момент t=0:

Релятивистский спектр: состояния с положительными и отрицательными энергиями, дираковское море

Уравнение Дирака: осцилляторная динамика релятивистского электрона Уравнение Дирака может быть записано в следующей форме: где Матрицы Дирака Здесь матрицы удовлетворяют соотношениям:

Начальный волновой пакет – суперпозиция состояний одной (верхней) зоны - собственные функции гармонического осциллятора - магнитная длина

Осцилляции средней скорости V x

Эволюция релятивистского волнового пакета в магнитном поле: формирование регулярных структур (коллапс и возрождение). Подобные структуры – это чисто квантовые объекты, не имеющие классических аналогов при любом n>>1

Основные этапы эволюции: в моменты пики излучения следуют вдвое, втрое, вчетверо и т.д. чаще, чем на начальном этапе.

Эволюция спиновой плотности

Коллапс и возрождение электронных волновых пакетов в графене, находящемся в магнитном поле Расчет временной зависимости электронной плотности

Энергетический спектр в монослойном графене

Энергетический спектр графена в магнитном поле. Собственные функции и собственные значения - собственные функции гармонического осциллятора в магнитном поле - собственные функции гармонического осциллятора в магнитном поле

Начальный волновой пакет, составленный из состояний верхней зоны, в монослойном графене

Осцилляции средней скорости V x в монослойном графене

Этапы эволюции волнового пакета, составленного из состояний верхней зоны, в монослойном графене: формирование регулярных структур (коллапс и возрождение). Подобные структуры – это чисто квантовые объекты, не имеющие классических аналогов при любом n>>1

Эволюция гауссовского волнового пакета в однозонной и двухзонной моделях спектра при малых временах

Вывод Таким образом, в рассмотренной задаче состояния «живой» и «мертвый» шредингеровский кот (квантовая суперпозиция различных мезоскопических состояний) представлены векторами в гильбертовом пространстве. Пакеты, постороенные из мезоскопических квантовых состояний с квантовыми числами n>>1, периодически коллапсируют и возрождаются.

Коллапс и возрождение электронных волновых пакетов в модели Рашбы Расчет временной зависимости электронной плотности

м

Этапы расчета эволюции волнового пакета в электронном газе со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы Исходный гамильтониан в калибровке Собственные функции и собственные значения энергии Форма исходного волнового пакета

Матричная электронная функция Грина в модели Рашбы

Этапы расчета эволюции волнового пакета в электронном газе со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы Средние координаты центра пакета Х(t) и Y(t)

Аппроксимация функции f (n)

Волновой пакет в начальный момент времени

Коллапс и возрождение волновых пакетов. Осцилляции среднего циклотронного радиуса R(t) при больших временах

Эволюция циклотронного радиуса при сравнительно малых временах

Форма пакета к моменту T D Электронная плотность вероятности распределена по всей циклотронной орбите

Восстановление пакета в момент

Расчет времени затухания t=T D и t=T R

Электромагнитное мультипольное излучение волновых пакетов

Механизм коллапса и восстановления Функции и состоят из набора осциллирующих слагаемых с близкими частотами. Первоначально эти слагаемые находятся в фазе и весь пакет испытывает осцилляции. Спустя время T D происходит «расстройка» и пакет расплывается. В момент T R фазы отдельных слагаемых совпадают, пакет восстанавливает свою форму и осцилляции возобновляются. В моменты t=p/qT R, где p и q взаимно простые числа, восстанавливаются фазы у отдельных групп слагаемых и при этом пакет состоит из нескольких частей. Это т.н. fractional revivals.

Об экспериментальном наблюдении эффектов коллапса и возрождения волновых пакетов в ридберговском атоме (калий) J.A. Yeazell et al., Observation of the Сollapse and Revival of a Ridberg Elrctronic Wave Packet, PRL 64, 2007 (1990)

M.J.J. Vrakking et al., Observation of fractional revivals of a moleqular wave packet, Phys. Rev. A,54,R37 (1990) Об экспериментальном наблюдении эффектов коллапса и возрождения волновых пакетов в молекуле Br2

C. Monroe, A Schrodinger Cat Superposition States of an Atom / C. Monroe, D. Meekhof, B. King, D. Wineland/ Science 272, 1131 (1996). Об экспериментальном наблюдении эффектов коллапса и возрождения волновых пакетов

Литература [1] E. Schrodinger, Naturwissenschaften 23, (1935), 23, ), 23, (1935). [2] C. Monroe, A Schrodinger Cat Superposition States of an Atom / C. Monroe, D. Meekhof, B. King, D. Wineland/ Science 272, 1131 (1996). [3] M. Brune et al., Observing the progressive Dechogerence of the Meter in a Quantum Measurement, Phys. Rev. Lett. 77, 4887 (1996). [4] A. Bermudes, M.A. Martin-Delgado, and R. Solano /, Mesoscopic Superposition States in Relativistic Landau Levels, Phys. Rev..Lett. 99, (2007); [5] A. N. Castro Neto, The electronic properties of graphene / A. H. Castro Neto, F.Guines, N.M.R. Peres, K.S. Novoselov, and A.K. Geim /, Rev. Mod. Phys. (2008). [6] E. T. Jaynes, and F.W. Cummings, Proc. IEEE 51, 89 (1963).

Литература (продолжение) [7] Romera E. Revaivals, classical periodicity, and zitterbewegung of electron currents in monolayer grapheme / E. Romera and F. de los Santos. Phys. Rev. B 89, (2009). [8] J.J. Torres and E. Romera Wave packet revivals in a graphene quantum dot in a perpendicular magnetic field, Phys. Rev. B 82, (2010). [9 ]Z. Dacic Gaeta and C. R. Stroud Jr. Classical and quantum-mechanical dynamics of a quasiclassical state of the hydrogen atom. Phys. Rev. A 42, 6308 (1990). [10] J. Parker, and C. R. Straud, Cocherence and Decay of Ridberg Wave Packets, PRL 56, 716(1986)

Литература (продолжение) [11] J. A. Yeazell, M. Mallalieu, and C. R. Stroud, Jr., Observation of collapse and revival of Ridbrg electronic wave pac ket. Phys. Rev. Lett. 64, 2007 (1990). [12] И. Ш. Авербух, Н. Ф. Перельман, Динамика волновых пакетов высоковозбужденных атомов и молекул УФН, 161, 41(1991). [13] M.J.J. Vrakking et al., Observation of fractional revivals of a moleqular wave packet, Phys. Rev. A,54,R37(1990).

Работы автора и сотрудников КТФ ННГУ [1] V. Ya. Demikhovskii, G.M Maksimova, E.V. Frolova, Wave packet dynamics in Lattinger Systems, Phys.Rev. B 81,115206(2010). [2] Maksimova G.M. Wave packet dymamics in monolayer grafene./ Maksimova G.M., Demikhovskii V.Ya. and Frolova E.V., Phys.Rev. B , (2008). [3] V. Ya. Demikhovskii, G.M Maksimova, A.A. Perov, E.V. Frolova, Space-time evolution of Dirac wave packets, Phys. Rev. A, 82, (2010). [4] V. Ya. Demikhovskii, G.M Maksimova, E.V. Frolova, Wave packett dynamics in a two dimensional electron gas with spin-orbit coupling:Splitting and Zitterbewegung, Phys. Rev. B, 78, (2008). [5] V. Ya. Demikhovskii, G.M Maksimova, A.A. Perov, A.V. Telezhnikov, The long-term cyclotron dynamics of relativistic wave packets: spontaneous collapse and revival, PRA 85, (2012).