Методы решения тригонометрических уравнений урок – семинар урок – семинар

Цели урока: 1.Рассмотреть некоторые методы решения тригонометрических уравнений. 2.Научиться находить и использовать наиболее рациональные способы решения для данного уравнения.

Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики Платона, а в правление Птолемея I ( до н.э.) он преподавал в Александрийской академии. Евклид – первый математик александрийской школы. Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики Платона, а в правление Птолемея I ( до н.э.) он преподавал в Александрийской академии. Евклид – первый математик александрийской школы.

Главная работа Евклида – "Начала" (лат. Elementa) – содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например, алгоритм Евклида); состоит из 13-ти книг, к которым присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, иногда приписываемых Гипсиклу Александрийскому. В "Началах" он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. На протяжении более двух тысячелетий евклидовы "Начала" оставались основным трудом по элементарной математике. Главная работа Евклида – "Начала" (лат. Elementa) – содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например, алгоритм Евклида); состоит из 13-ти книг, к которым присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, иногда приписываемых Гипсиклу Александрийскому. В "Началах" он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. На протяжении более двух тысячелетий евклидовы "Начала" оставались основным трудом по элементарной математике.

«Метод разложение на множители» Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505г.) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое от слов «треугольник» и «мера». Т.е. тригонометрия – наука об измерении треугольников. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад. Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505г.) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое от слов «треугольник» и «мера». Т.е. тригонометрия – наука об измерении треугольников. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад. Длительную историю имеет понятие «синуса». Фактически различные отношения отрезков треугольника к окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (I в.н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Длительную историю имеет понятие «синуса». Фактически различные отношения отрезков треугольника к окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (I в.н.э.), хотя и не приобрели специального названия.

В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными. В IV-V вв. появился уже специальный термин I в. «ард-ходжива» (ардх – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее привилось более краткое название «джива». Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения complementy sinus, т.е. «дополнительный синус» (или «синус дополнительной дуги»: вспомните cos α = sin (90° - α)).

1 sin²x – sin x = 0 sin x (sin x – 1) = 0 sin x = 0 и или s sin x – 1 = 0 x =πn, n є Z in x = 1 x =π/2+2πk, k є Z Ответ:π/2+2πk, где n, k є Z

2 2 cos x + (|sin x – 1| / (sin x – 1)) × sin 2x = 0 sin x – 1 0 sin x – 1 < 0 sin x < 1 2 cos x + ((1 – sin x) / (sin x – 1)) × sin 2x = 0 2 cos x – 1 × 2sin x × cos x = 0 cos x (2 – 2sin x) = 0 cos x = 0 или 2 – 2sin x = 0 x =π/2 + πk, k є Z sin x = 2/2 x = (-1) × π/4 + πn, n є Z x = (-1) × π/4 + πn, n є Z Ответ: π/2+ πk; (-1) × π/4 + πn, где n, k є Z

Выполнила Барышникова Елена 10 класс

Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функций. Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решение задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затмений и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников, составленных из больших кругов, лежащих на сфере. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с задачами, существенно более трудными, нежели задачи на решение плоских треугольников. В геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими, индийскими, арабскими математиками.

Гиппарх, Способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника. Клавдий Птолемей Астрономы, 2 век до н. э. и 2 век н. э.

Николай Коперник Астроном, Творец гелиоцентрической системы мира. Астроном,

sin f(x) = sin φ(x) f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = π- φ+2πn n, k є Z

cos f(x) = cos φ(x) f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = -φ(x) + 2πn f(x) = -φ(x) + 2πn n, k є Z n, k є Z

tg f(x) = tg φ(x) f(x) = φ(x) + πn φ(x) π + πl 2 n, l є Z n, l є Z

Пример 1. sin 2x = sin 5x sin 2x = sin 5x Ответ : 2π k; (1 - 2π) π, Ответ : 2π k; (1 - 2π) π, где n u k Є Z где n u k Є Z 5x = 2x + 2πk 5x = π- 2x + 2πn 3x = 2πk 7x = (1 + 2π)π x = 2πk 3 π x = (1 + 2π) 7 k є Z n є Z k є Z n є Z k є Z n є Z

Пример 2. sin 5x = -sin x sin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x) sin 5x = sin (-x) Ответ :π k ; ( 1+2n) π Где n и k Є Z Где n и k Є Z 5x – (-x) = 2πk 5x =π- (-x)+2πn x = π k 3 π x = ( 1+2n) 4 k є Z n є Z k є Z n є Z

Пример 3. cos 3x = cos 5x cos 3x = cos 5x Ответ : πk, π n, Ответ : πk, π n, 4 4 где n u k Є Z 3x=5x+2πk 3x=-5x+2πn 2x=2πk 8x=2πn x=πk x=π n 4 k є Z n є Z k є Z n є Z k є Z n є Z

Пример 4. tg 3x ·tg (5x+π)=1 tg 3x 3 tg 3x0 3 tg 3x0 tg (5x+π)= 1 3 tg 3x 3 tg 3x tg (5x+π)= ctg 3x 3 tg (5x+ π)=tg (π-3x) Ответ: π (1+6n), n є Z Выполнила Шумакова Екатерина 10 класс. 5x+π=π-3x+πn 32 π-3xπ+πl 2 8x=π+πn 6 -3xπl x=π+πn 48 xπl 3 k є Z n є Z k є Z n є Z k є Z n є Z

Метод cведения к алгебраическому уравнению.

Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Л. Эйлер ( ), швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Л. Эйлер ( ), швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. Несомненно, Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён. В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона, Декарта, Галилея. Несмотря на потерю зрения в 1776 году, Эйлер продолжал работать. Его математический гений и великолепная память позволили ему продолжать работу. Несомненно, Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён. В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона, Декарта, Галилея. Несмотря на потерю зрения в 1776 году, Эйлер продолжал работать. Его математический гений и великолепная память позволили ему продолжать работу. Формулы он писал мелом на доске, а своим друзьям диктовал новые работы. Характерно, что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости, о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов. Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками. Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге, ныне его прах перенесён в Некрополь. Формулы он писал мелом на доске, а своим друзьям диктовал новые работы. Характерно, что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости, о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов. Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками. Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге, ныне его прах перенесён в Некрополь. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее и проще. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее и проще.

sin² х - 7cos x - 5 = 0 2 sin² х - 7cos x - 5 = 0 2(1 - cos² x) - 7cos x - 5 = 0 2(1 - cos² x) - 7cos x - 5 = cos² x - 7cos x - 5 = cos² x - 7cos x - 5 = cos² x – 7cos x - 3=0 - 2 cos² x – 7cos x - 3=0 Пусть cos x = y и | у | 1 Пусть cos x = y и | у | 1 2у² + 7у + 3 = 0 2у² + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет решений cos x = - уı = - 3 у = - нет решений cos x = - x = ± π + 2πn, n є x = ± π + 2πn, n є Ответ: ± π + 2πn, n £ Ответ: ± π + 2πn, n £

2. 2. cos2x + 3 sin x = 2 cos2x + 3 sin x = 2 1- sin² x + 3 sin x = 2 1- sin² x + 3 sin x = 2 -sin² x + 3 sin x - 1 = 0 -sin² x + 3 sin x - 1 = 0 Пусть sin x = y, | у | 1 Пусть sin x = y, | у | 1 y² - 3y + 1 = 0 y² - 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 => y = 1 или y = a + b + c = 0 => y = 1 или y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = π + 2πk, k є Z x = ( ˗ 1) ·π + πn, n є Z x = π + 2πk, k є Z x = ( ˗ 1) ·π + πn, n є Z Ответ: π + 2πk, x = (-1) ·π + πn, где n, k є Z. Ответ: π + 2πk, x = (-1) ·π + πn, где n, k є Z. Выполнила Мамедова Айнура 10 класс. Выполнила Мамедова Айнура 10 класс.

Метод исполнения свойства ограниченности функции (метод оценки).

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.» Лейбниц.

Сам термин функции впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673), а затем и в печати (1692). слово function переводиться как свершение, исполнение. Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров, связанных с положением точки на плоскости. Сам термин функции впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673), а затем и в печати (1692). слово function переводиться как свершение, исполнение. Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров, связанных с положением точки на плоскости. Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г. Лейпциге. Его отец- юрист и профессор философии умер, когда Готфриду было всего шесть лет. Среда, в которой рос Лейбниц, оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека. Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией. В 1666 г. Он получил звание доктора наук. Полезно отметить, что труды Лейбница, написанные в восемнадцатилетнем возрасте, были достаточны для того, чтобы присвоить Лейбницу докторское звание, но ему в этом было отказано по молодости лет. Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой, т.к. не интересовался педагогической деятельностью. Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г. Лейпциге. Его отец- юрист и профессор философии умер, когда Готфриду было всего шесть лет. Среда, в которой рос Лейбниц, оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека. Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией. В 1666 г. Он получил звание доктора наук. Полезно отметить, что труды Лейбница, написанные в восемнадцатилетнем возрасте, были достаточны для того, чтобы присвоить Лейбницу докторское звание, но ему в этом было отказано по молодости лет. Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой, т.к. не интересовался педагогической деятельностью. В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика. Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений. Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение. Судьба играла с этим великим человеком злую шутку. Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов, в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления. Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых. А правда состояла в том, что первые результаты получил действительно Ньютон, а Лейбниц пришел к открытию собственным путем, но результаты Лейбница стали известны раньше, т.к. были раньше публикованы. В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика. Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений. Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение. Судьба играла с этим великим человеком злую шутку. Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов, в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления. Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых. А правда состояла в том, что первые результаты получил действительно Ньютон, а Лейбниц пришел к открытию собственным путем, но результаты Лейбница стали известны раньше, т.к. были раньше публикованы. Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики, тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механике. Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики, тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механике. Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница. Умер он 14 ноября 1716 г. За его гробом шел только один его верный друг. Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница. Умер он 14 ноября 1716 г. За его гробом шел только один его верный друг. Если функции f(x) b g(x) таковы, что для всех х выполняется неравенства Если функции f(x) b g(x) таковы, что для всех х выполняется неравенства F(x) α и g(x)β и дано уравнение F(x) α и g(x)β и дано уравнение F(x) + g(x)=α+β, то оно равносильно системе F(x) + g(x)=α+β, то оно равносильно системе f(x)=α f(x)=α g(x)=β g(x)=β

1 sin x - cos 6x = 2 sin x - cos 6x = |Sin x| 1 |cos 6x| 1 |Sin x| 1 |cos 6x| 1 Cos 6x = -1 Cos 6x = -1 fgfg3 Sin x = 1 3 Cos 6x = -1 x = π + 2 π k, k Є Z 2 3 6x = π + 2 π k, n Є Z x= 3π +6 π k, k ЄZ 2 x= π + πn, n Є Z 6 3 Ответ: 3π+6 π ι, ι= Z 2

2 x² - 4x = ( 2 – cos πx) (2 + cos πx) – 8 x² - 4x = ( 2 – cos πx) (2 + cos πx) – x² - 4x +8 = 2² - cos² πx x² - 4x +8 = 2² - cos² πx 4 4 E(x² - 4x + 8) = [4; ) E(x² - 4x + 8) = [4; ) Xв = - в = 4 =2 Xв = - в = 4 =2 2a 2 2a 2 Yв = = 4 Yв = = 4 E (4 - cos² πx) = [3; 4] E (4 - cos² πx) = [3; 4] cos² πx 1 0 cos² πx cos² πx cos² πx E (x² -4x +8) = E (4- cos²πx) = 4,при х=2 E (x² -4x +8) = E (4- cos²πx) = 4,при х=2 4 4 Ответ: 2 Ответ: 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение вида a sinx + b cosx = c a sinx + b cosx = c a, b, c – любые числа a, b, c – любые числа

Франсуа Виет Несмотря на то, что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом, он отличался любовью и точным наукам и способностями к математике. Будучи совсем молодым офицером, он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру, которым пользовался испанский король Филипп II при переписке. Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документы. Несмотря на то, что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом, он отличался любовью и точным наукам и способностями к математике. Будучи совсем молодым офицером, он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру, которым пользовался испанский король Филипп II при переписке. Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документы.

Заинтересовавшись астрономией, Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй. Виет дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений, почему и получил почетное имя современной алгебры. Виет первый ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что иногда делали его предшественники), но и для коэффициентов уравнений. Заинтересовавшись астрономией, Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй. Виет дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений, почему и получил почетное имя современной алгебры. Виет первый ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что иногда делали его предшественники), но и для коэффициентов уравнений.

Поэтому, благодаря трудам Виета открылась возможность выражения свойств уравнений и их корней общими формулами. Поэтому, благодаря трудам Виета открылась возможность выражения свойств уравнений и их корней общими формулами.

a sinx + b cosx = c a sinx + b cosx = c Условия на коэффициенты Решения а² + b² – c² > 0 x = 2·arctg· a ± a²+b²-c² + 2πn b + c b+c0 а² + b² – c² = 0 x = 2·arctg· a + 2πn, n є Z b + c а² + b² – c² < 0 x = ø b + c = 0 x = π(1 + 2n), n є Z x = -2 x arctg b + 2πk, k є Z a a=b=c=0, то x – любое число a=b=0, c0 уравнение теряет смысл ·

1. 3· sinx + 4· cosx = 3

Решение: а² + b² – c² > – 9 > 0 x = 2· arctg 3 ± – 9 + 2πn, n є Z 7 x = 2· arctg 3 ±4 + 2πn, n є Z 7 x = 2· arctg 1 + 2πn x = 2· arctg k 7 x = π(1 + 2n), n є Z x = -2· arctg 1 + 2πk, k є Z 7

2. 3 sinx – 4 cosx = 5

Решение: а² + b² – c² = – 25 = 0 x = 2· arctg 3 + 2πn, n є Z 1

3. 5 sinx – 4 cosx = 4

Решение: c + b = 0 4 – 4 = 0 x = (1 + 2n)π x = (1 + 2n)π x = -2arctg (-0,8) + 2πk x = -2arctg (-0,8) + 2πk x = (1 + 2n)π x = (1 + 2n)π x = 2 arctg 0,8 + 2πk x = 2 arctg 0,8 + 2πk Выполнила Давыдова Елена 10 класс.

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов, чем математик. Но именно он был пионером современной математики, и его заслуги в этой области столь велики, что он по справедливости входит в число великих математиков современности. О жизни Декарта, известно так же под латинизированным именем Картезия, мы знаем немного. Родился Декарт во Франции. После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств, он по примеру своего брата стал изучать правоведение. В 22- летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников, учавствовавших в тринадцатилетней войне.

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума, и поэтому преследовался католической церковью. Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике, которыми он интересовался с детства, Декарт в 1629г. поселился в Голландии, где прожил почти до конца жизни. Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел, обозначение степени XX=X и знак бесконечности. Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости. В Европе используется название, предложенное автором Картезианская система координат. У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат.

11 февраля 1650г. Декарт скончался. Последние слова, произнесённые им, были «Пора в путь, душа моя». В 1666г. передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину.

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

На содержание

Sin x = 2x

На содержание X=0

Метод решений однородного уравнения. Рассотрим уравнение asin²x+bsinx cosx+c cos²x=0 Разделим уравнение на cos²x, cos x0 т.к. иначе sin x=0, чего быть не может

1. 3 cos²x-5 sin²x-sin2x=0 3 cos²x-5 sin²x-2sinx cosx=0 3-5 tg²x-2 tgx=0 Пусть tgx=y, тогда 5y²+2tgx-3=0= y 1 =-1, y 2 =0.6 Произведём обратную замену tgx=1x=π/4, πn, n є Z tgx=0.6x=arctg0.6+πk, k є Z

2. sin²x-sinxcosx-cos²x+sin²x-sin²x-cos²x=0 sin²x-sinxcosx-2cos²x=0tg²x-tgx-2=0 tgx=2tg=-1 x=arctg2+πk, k є Z

3. cos²x+sinxcosx=0 на cos²x делить нельзя, можно утверждать, что sin²x0 ctg²x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0 ctgx=0илиctgx=1 X=π/2+πn, n є Z X=3π/4+πk, k є Z Выполнила Усатова Анастасия 10 класс.

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.» А. Эйнштейн

7 способов решения уравнения Sinx + Cosx = 1

1 способ: Возведение в квадрат левой и правой части уравнения

2 способ: Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и Cosx

3 способ: разложение на множители

4 способ: Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

5 способ: Метод оценки

На содержание 6 способ: Графический

На содержание

Метод 7: уравнение вида asinx+bcosx=0; sinx+cosx=1 X=2arctg 1±1=1-1 +2πn, n є Z X=2arctg 1±1 +2πn, n є Z 2 X=2arctg0+2πn, n є Z X=2arcgt1+2πk, k є Z X= 2πn, n є Z X=2×π+2πk 4 X=2πn, n є Z X= π+2πk, k є Z 2

«Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.» Герберт Спенсер

Классификация тригонометрических уравнений по методам решений

Самостоятельная работа Первый вариант Второй вариант