Тема Автор: Фельзинг Ольга Ивановна Учитель математики 1-й категории МОУ – открытая (сменная) общеобразовательная школа 1 г. Искитима «Показательная и логарифмическая функции»

Цель проекта Изучить логарифмическую и показательную функции как взаимно обратные функции. Показать практическую значимость логарифмической и показательной функций.

Содержание 1. Показательная функция. Показательная функция. Показательная функция. 2. График показательной функции. График показательной функции. График показательной функции. 3. Свойства показательной функции. Свойства показательной функции. Свойства показательной функции. 4. Логарифмическая функция. Логарифмическая функция. Логарифмическая функция. 5. График логарифмической функции. График логарифмической функции. График логарифмической функции. 6. Свойства логарифмической функции. Свойства логарифмической функции. Свойства логарифмической функции. 7. Из истории. Из истории. Из истории. 8. Приложения логарифмической функций. Приложения логарифмической функций. Приложения логарифмической функций. 9. Применение показательной функций. Применение показательной функций. Применение показательной функций. 10. Задание для самостоятельной работы. Задание для самостоятельной работы. Задание для самостоятельной работы.

Показательная функция ее свойства и график

Функция, заданная формулой вида у = ах, где a a a a > 0, называется показательной.

Схематический график функции у = ах при a > 1. при 0 < a <

1.D (ax) = R; 2. E (ax) = R+; 3.Ф ункция возрастающая; 4.П ри x = 0 ax = 1, при x Є (- ; 0) 0 < ax < 1, при x Є (0; ) ax > 1. Свойства функции у = ах при a > 1: 1

1.D (ax) = R; 2.E (ax) = R+; 3.Ф ункция убывающая; 4.П ри x = 0 ax = 1 при x Є (- ; 0) ax > 1, при x Є (0; ) < ax < 1. Свойства функции у = а х при 0 < a < 1: 1

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Показательная функция у = ах непрерывна и возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1 на всей числовой прямой. В обоих случаях E (ax) = R+.

Следовательно, показательная функция имеет обратную функцию с областью определения R + и множеством значений R, н нн непрерывную в каждой точке области определения.

Эту обратную функцию называют логарифмической функцией при основании a и обозначают logax.

Схематические графики функции у = logax при a > 1 при 0 < a < 1

Свойства функции у = log a x при a > 1 1. D (logax) = R+. 2. E (logax) = R. 3. l oga1 = ф ункция у = logax возрастающая. 5. Е сли x Є ( 0; 1), то logax < 0; если x Є (1;), то logax > 0.

Свойства функции у = log a x при 0 < a < D (logax) = R+. 2. E (logax) = R. 3. l oga1 = ф ункция у = logax убывающая. 5. Е сли x Є ( 0; 1), то logax > 0; если x Є (1; ), то logax <

Из истории.

Дробные показатели степени и наиболее простые правила действий над степенями с дробными показателями встречались в ХIV в. у французского математика Дробные показатели степени и наиболее простые правила действий над степенями с дробными показателями встречались в ХIV в. у французского математика Н. Оресма Н. Оресма ( ). ( ).

Немецкий математик М. Штифель ( ) ввел название «показателя» и дал определение а 0 = 1 при а 0, пришел к соотношениям log (ab) = log a + log b, log (a/b) = log a – log b.

Теорию логарифмов развил Дж. Непер. Он разработал способы вычисления арифметических выражений с помощью логарифмов и составил подробные таблицы логарифмов. Он разработал способы вычисления арифметических выражений с помощью логарифмов и составил подробные таблицы логарифмов. ( )

Приложения логарифмической функции

Спирали Спирали (от греч. spéira, буквально витое) - плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё.

Логарифмическая спираль - кривая, уравнение которой в полярных координатах: r = аекφ. Была известна многим математикам 17 в.

Вот вы когда-нибудь слыхали о логарифмической спирали?

Закручены по ней рога козлов И не найдете вы на них нигде узлов.

Моллюсков многих и улиток Ракушки тоже все завиты.

И эту спираль мы повсюду встречаем: К примеру, ножи в механизме вращаем, В изгибе трубы мы ее обнаружим, Турбины тогда максимально послужат!

В подсолнухе семечки тоже закручены И паука все плетенья заучены. Наверняка, и о том вы не знали, Галактики тоже кружат по спирали!

Применения показательной функции В природе, технике и экономике встречаются процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции: рост бактерий в идеальных условиях, рост бактерий в идеальных условиях, радиоактивный распад вещества, радиоактивный распад вещества, рост вклада в сберегательном банке, рост вклада в сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у человека, потерявшего много крови. восстановление гемоглобина в крови у человека, потерявшего много крови.

В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемые показательной функцией: температура чайника изменяется со временем, температура чайника изменяется со временем, при включении и выключении электрического тока в цепи, при включении и выключении электрического тока в цепи, при падении тела в воздухе с парашютом, при разрушении адреналина в крови. при разрушении адреналина в крови.

Задание 1 1. Постройте график функции у = 3 х и у = (1/3) х 2. С помощью построенных графиков найдите: a)значение у, соответствующее значения х, равному -2; -1; 0; 1; 2; b)при каком значение х значение у равно 0,5; 1; 3; 7; c) множества решений неравенств 3 х >1, 3 x >(1/3) х, (1/3) х 1, 3 x >(1/3) х, (1/3) х

Задание 2 1. Постройте график функции у = 3 х. 2. Постройте график функции, обратной функции у = 3 х, опишите ее свойства. 3. С помощью графика функции у = log 3 x сравните числа: a) log 3 1/2 и log 3 0,9; b) log 3 3 и log 3 5. Ответы Ответы Ответы

Ответы к заданию 1 1) 2) а) у 1 0,1; 0,3; 1; 3; 9. У 2 9; 3; 1; 0,3; 0,1. б) х 1 -0,7; 0; 1. х 2 0,7; 0; -1. б) х 1 -0,7; 0; 1. х 2 0,7; 0; -1. в) (0; +); (0; +); (1; +); (-;-1). Назад в) (0; +); (0; +); (1; +); (-;-1). Назад Назад

Ответы к заданию 2 1) 2) Свойства смотри при a > 1 Свойства смотри при a > 1 Свойства смотри при a > 1 Свойства смотри при a > 1 3) log 3 1/2 < log 3 0,9; log 3 3 < log 3 5. Назад Назад Далее

Свойства функции у = log a x при a > 1 1. D (log a x) = R E (log a x) = R. 3. log a 1 = функция у = log a x возрастающая. 5. Если x Є ( 0; 1), то log a x < 0; если x Є (1;), то log a x > 0. если x Є (1;), то log a x > 0. Назад НазадНазад