Плоскость и прямая в пространстве Лекции 10, 11

Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение между переменными которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Назовем нормалью к плоскости вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Обозначают нормаль

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Пусть точки и лежат на плоскости. Тогда и, значит, их скалярное произведение равно нулю: -это уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору -.

М

Общее уравнение плоскости Из предыдущего уравнения легко получить общее уравнение плоскости

Частные случаи общего уравнения 1. -плоскость проходит через начало координат. 2. -плоскость параллельна оси OX. 3. -плоскость параллельна плоскости XOY. 4. -плоскость проходит через ось OX. 5. -это уравнение плоскости XOY. Остальные случаи рассмотреть самостоятельно.

Уравнение в «отрезках» Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на него все слагаемые Введя соответствующие обозначения, имеем.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки Пусть точки,, лежат на плоскости. Точка - текущая точка плоскости. П

Запишем координаты векторов: Эти векторы компланарны, т.к. лежат в одной плоскости. Следовательно их смешанное произведение равно нулю. Получаем уравнение:

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид:

Взаимное расположение плоскостей

Угол между плоскостями Даны две плоскости и : Тогда:

Условие перпендикулярности плоскостей Если плоскости перпендикулярны друг к другу, то соответственно перпендикулярны их нормальные векторы

Условие параллельности плоскостей Если плоскости параллельны друг к другу, то соответственно параллельны их нормальные векторы:

Расстояние от точки до плоскости

Пример Найти уравнение плоскости, проходящей через точки.

Решение В уравнение плоскости, проходящей через три точки, подставим координаты данных точек: Раскладывая определитель по элементам первой строки, имеем.

Прямая в пространстве.

Пусть прямая проходит через заданную точку параллельно данному вектору: M

Канонические уравнения прямой. -направляющий вектор прямой, -точка прямой. Тогда

Параметрические уравнения (вывести самостоятельно) t-переменный параметр.

Уравнение прямой, проходящей через две точки Точки и лежат на прямой. Вывод уравнения сделать самостоятельно.

Общее уравнение прямой Прямая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей

каждое уравнение отдельно- это уравнение плоскости, которые пересекаются по прямой.

Чтобы перейти к каноническим уравнениям, возьмем в качестве направляющего вектор.

За точку, через которую проходит прямая, можно взять любую точку. Например, положить в системе одну из переменных равной нулю, а две другие найти из этих уравнений.

Пример Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями Решение. Найдем точку на прямой. Пусть, например, z = 0. Система примет вид

Сложив уравнения, получим Тогда из второго уравнения Точка на прямой А(1; -2; 0).

Найдем направляющий вектор этой прямой: Получим канонические уравнения прямой

Взаимное расположение прямых в пространстве

Угол между прямыми Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами

Параллельность прямых Если то

Перпендикулярность прямых Если то

Взаимное расположение прямой и плоскости

Угол между прямой и плоскостью φ

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость

Угол между прямой и плоскостью -нормаль плоскости П, -направляющий вектор прямой.

Ясно, что прямая параллельна плоскости тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой перпендикулярен нормали плоскости т.е. если скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормали к плоскости равно нулю:

Условие параллельности прямой и плоскости Если то и

Условие перпендикулярности прямой и плоскости Прямая перпендикулярна плоскости при условии т.е. если то

Точка пересечения прямой и плоскости Пусть требуется найти точку пересечения прямой и плоскости Запишем параметрические уравнения прямой и подставим выражения для х, у, z в уравнение плоскости.

Получим уравнение вида относительно параметра t. Выразив t из этого уравнения и подставив в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t = 0 (то есть M = N = 0), то любое действительное значение t будет его решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек, то есть прямая лежит в плоскости.

Пример Найти точку пересечения прямой и плоскости

Пример Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;2;0) и В(2;1;1) перпендикулярно заданной плоскости –х+у-1=0. Тогда векторы компланарны. А В М

Пример Показать, что прямая лежит в плоскости Решение. Используем параметрические уравнения прямой

Подставим в уравнение плоскости: - Получили равенство, верное при любых Следовательно, прямая лежит в плоскости.

Пример Найти уравнение перпендикуляра к плоскости, проходящего через точку А(2;-1:3), и определить координаты основания этого перпендикуляра.