Прямая в пространстве Каноническое уравнение прямой Параметрическое уравнение прямой Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей Угол между. - презентация

1 Прямая в пространстве Каноническое уравнение прямой Параметрическое уравнение прямой Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей Угол между двумя прямыми Угол между прямой и плоскостью Условие принадлежности двух прямых одной плоскости Точка пересечения прямой и плоскости

2 Каноническое уравнение прямой Пусть прямая L проходит через данную точку М 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) параллельно вектору: Каноническое уравнение прямой М0М0 L М Тогда точка М (x; y; z) лежит на прямой только в том случае, если векторы и коллинеарны По условию коллинеарности двух векторов: - направляющий вектор прямой

3 Каноническое уравнение прямой Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от друга точки: М 1 (х 1 ; у 1 ; z 1 ) и М 2 (х 2 ; у 2 ; z 2 ). М1М1 М2М2 Тогда в качестве направляющего вектора в каноническом уравнении можно взять вектор: Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки L

4 Параметрическое уравнение прямой При решении многих практических задач используют параметрическое уравнение прямой, которое получается из канонического уравнения: Параметрическое уравнение прямой

5 Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей Пусть две непараллельные плоскости заданы общими уравнениями: Эти плоскости определяют единственную прямую в пространстве: L Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей

6 Пример Написать каноническое уравнение прямой: Найдем точку, принадлежащую прямой, то есть удовлетворяющую системе уравнений. Пологая z равному любому числу, например, z = 0, получим: Точка M 0 (11; -8; 0) – принадлежит прямой Найдем координаты направляющего вектора прямой:

7 Угол между прямыми Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями: Углом между этими прямыми называется угол между направляющими векторами к этим прямым. L1L1 L2L2

8 Угол между прямой и плоскостью Пусть прямая L задана каноническим уравнением: Плоскость p задана общим уравнением: Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость. L р

9 Условие принадлежности двух прямых одной плоскости Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными, и скрещиваться. совпадать, В первых трех случаях прямые лежат в одной плоскости.

10 Условие принадлежности двух прямых одной плоскости Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями: Для принадлежности двух прямых одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора: М1М1 М2М2 L1L1 L2L2 были компланарны. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

11 Точка пересечения прямой и плоскости При вычислении координат точки пересечения прямой и плоскости следует совместно решить систему уравнений: К При этом необходимо: Записать уравнение прямой в параметрическом виде:

12 Точка пересечения прямой и плоскости Подставить t 0 в параметрическое уравнение прямой: Подставить в уравнение плоскости вместо x; y; z: Решить полученное уравнение относительно t:

13 Пример Найти точку пересечения прямой и плоскости. Напишем параметрическое уравнение прямой: Подставим в уравнение плоскости: Подставим в уравнение прямой: