Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На рис. 1 перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся. Рис. 1 с а b ß Две прямые в пространстве называются взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90 °. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а b.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. А С с b a М Рис. 2 α

Док-во: Пусть а b и а с. Докажем, что b c. Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с (рис. 2). Так как а с, то

Определение Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Перпендикулярность прямой а и плоскости ß обозначается так: а ß. Говорят также, что плоскость ß перпендикулярна к прямой а. На рис. 3 изображена прямая а, перпендикулярная плоскости ß. ß а Рис. 3

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. аа 1 х α Дано: Прямые а, а 1, пл. α а α Доказать: а 1 α Рис. 4

Док-во: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α (рис. 4). Так как а α, то а х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а 1 х. Таким образом, прямая а 1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а 1 α. Теорема доказана

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. а b α α a ß

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано: Пл. α, пр. а р, а q, рq=O Доказать: а α А В О Р L Q q pm a a α l

Док-во: 1) Проведем через точку О прямую l. l m 2) Отметим на прямой а точки А, В так как ОА=ОВ 3) Проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, g, l в точках P, Q, L 4) Прямые p и g – сред. перпенд. к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=BQ => =>APQ= BPQ (по трем сторонам) => l а, т.к. l m и l a, то m a (по лемме) Прямая а к любой прямой в плоск., т.е. а α.