Автор: Наседкина Елена, ученица 11А класса МОУСОШ 9 г. Североморска

1. Определение логарифма и логарифмической функции 2. Графики и свойства логарифмической функции 3. Свойства логарифмов 4. Методы решения логарифмических уравнений 5. Использование логарифмической функции

На промежутке (0; +) определена функция, обратная к a x (a > 0, a 1). Эта функция называется логарифмической: Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени, в который надо возвести основание, чтобы получить b. Логарифм по основанию 10 называется десятичным и обозначается lg x. y = log a x

1) ; 2) ; 3) не является ни четной, ни нечетной; 4) не ограничена; 5) вертикальная асимптота x=0; 6) убывающая; 7) выпукла вниз; 8) дифференцируема.

1) ; 2) ; 3) не является ни четной, ни нечетной; 4) не ограничена; 5) вертикальная асимптота x=0; 6) возрастающая; 7) выпукла вверх; 8) дифференцируема.

Основные соотношения: Логарифм произведения: Логарифм частного: Логарифм степени: Переход к новому основанию:

Дополнительные соотношения

Функционально-графический С использованием определения Потенцирование Введение новой переменной Логарифмирование обеих частей уравнения, если они положительны

Пример: Решение: Ответ: x=2

Пример: Решение:,где } равносильный переход Ответ: x=4 и x=-2

Пример: Решение: Ответ:

Пример: Решение: Ответ: и

Пример: Решение: Ответ: и

Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины – звезды первой величины, второй, третьей и т.д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону: яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. В общем, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5. Аналогично оценивается и громкость шума. Единицей громкости звука служит «бел», но на практике используются единицы громкости равные его десятой доле,- так называемые «децибелы». Физические величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др.) составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в Беллах, равно десятичному логарифму соответствующей физической величины.

Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться различными раздражениями, отличающимися друг от друга в миллиарды раз. Удары молота о мокрую плиту в сто раз громче, чем шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в миллионы раз превосходит яркость какой- нибудь слабой звезды на ночном небосклоне. Но никакие физиологические процессы не дают такого диапазона ощущений. Опыты показали, что организм как бы «логарифмирует» полученные им раздражения, т.е. величина ощущений приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения.

Точнее, в логарифмической спирали углу поворота пропорционален логарифм этого расстояния. Спираль – это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали. Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию.

Особенности логарифмической спирали поражают не только математиков. Ее свойства удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы. На рисунке видно, что эта спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс, под одним и тем же углом.

Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали.

Рога таких рогатых млекопитающих, как архары – горные козлы, закручены по логарифмической спирали. В подсолнухе семечки расположены по дугам близким к логарифмическим спиралям.

По логарифмической спирали построена Солнечная система, кроме того в спирали закручены и многие галактики.

Так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12-звуковой), частоты звуковых колебаний представляют собой логарифмы, основание которых равно двум.