Понятие о вероятности

Основные понятия Рассмотрим результаты опыта при бросании монеты. Пусть рассматривается событие «А»: «в результате броска выпал герб». Будем рассматривать зависимость отношения n/N, где n – число опытов, при которых событие произошло, N – полное число опытов.

Получается следующая закономерность:

Основные понятия Рассмотрим результаты опыта при бросании кубика. Пусть рассматривается событие «А»: «в результате броска выпало число 6». Будем рассматривать зависимость отношения n/N, где n – число опытов, при которых событие произошло, N – полное число опытов.

Получается следующая закономерность:

Определение Пусть есть событие А. Пусть в N испытаниях событие A произошло n раз. Тогда вероятностью числа A называется

Основное правило расчета вероятности. Пусть имеется события А и В, образующие полную непересекающуюся группу событий. Пусть события A и В могут быть разложены в сумму непересекающихся событий

Основное правило расчета вероятности. Очевидно, что в этом случае события A 1, A 2 …A n, B n+1, Bn+ 2 … B N образуют полную непересекающуюся группу событий. События A 1, A 2 …A n называются реализациями события А, а события B n+1, Bn+ 2 … B N называются реализациями события В. Пусть p(A 1 )= p(A 2 )=…= p(A n )= p(B n+1 )=…=p(B N ) Такие события называются равновероятными. Тогда: вероятность наступления события А

Ошибка Д' Аламбера Бросаются две монеты. Какова вероятность, что обе монеты упадут орлом кверху? Д'Аламбер: в результате бросания двух монет возможны следующие три события: "выпали два орла", "выпали две решки" и "выпали орел и решка". Эти события находятся в равных условиях, поэтому их вероятности равны 1/3.

Ошибка Д' Аламбера Решим эту задачу иначе. Возможные события, которые являются результатом опыта с двумя монетами, будем обозначать двумя буквами. Первая буква означает выпадение орла(О) или решки(Р) на 1-ой монете, а вторая - выпадение орла или решки на 2-ой. Тогда 4 исхода бросания двух монет можно записать так: ОО; ОР; РО; РР. Все эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную неперекрывающуюся группу событий. Пусть событие A - "выпали два орла". Этому событию благоприятствует только один исход ОО. Поэтому M = 1; N = 4; P(A) = M / N= 1/4.

Ошибка Д' Аламбера Теперь нетрудно заметить ошибку Д'Аламбера. Он считал, что события "выпали два орла" и "выпали орел и решка" равновозможны, а это не так. Последнему событию благоприятствуют два исхода: ОР и РО, поэтому вероятность события "выпали орел и решка" P = M / N = 2/4 = 1/2 1/3.

Свойства вероятности. I. Вероятность достоверного события равна 1. Доказательство: Если событие А достоверное, то любой исход испытания благоприятствует этому событию, следовательно n = N. Значит, P(A) = n / N = N / N = 1. II. Вероятность невозможного события равна 0. Доказательство: Если событие А невозможное, то ни один из исходов испытания не благоприятствует ему. Следовательно, n = O, но тогда P(A) = n / N = 0 / N = 0.

Свойства вероятности. III. Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству 0 P(A) 1. Доказательство: Число исходов, благоприятствующих наступлению события, либо равно 0, либо N, либо, по определению вероятности, является частью всех N исходов испытания. Тогда O n N, а значит, 0 n / N 1. Следовательно, 0 Р(А) 1.

Пример 1 Игроки А и В играли в кости двумя кубиками. Игрок А выбросил 9 очков. Найти вероятность того, что он выиграет.

Решение Найдем число вариантов выпадения очков при одном броске пары кубиков. На любом из них моет выпасть цифра от одного до шести. Тогда N=6·6=36. Рассчитаем число вариантов, удовлетво- ряющих игрока А:

Игрок Б может выбросить Количество очковЧисло вариантов 21 (1+1) 32 (1+2; 2+1) 43 (1+3;2+2;3+1) 54 (1+4;2+3;3+2;4+1) 65 (1+5;2+4;3+3;4+2;5+1) 76 (1+6;2+5;3+4;4+3;5+2;6+1) 85 (2+6;3+5;4+4;5+3;6+2) Итого2626

Вероятность полной группы событий Пусть события A 1, A 2 …A N образуют полную неперекрывающуюся группу событий. Тогда

Доказательство Пусть число всех возможных способов реализации опыта N. Пусть событие А 1 реализуется числом способов n 1, событие А 2 – n 2 и т.д. Очевидно, что

Решим ту же задачу другим способом Найдем число способов, при котором игрок А не выиграет. Возможны варианты: 1. Ничья, реализуется числом способов 4 (9 очков: 3+6,4+5,5+4,6+3) P(Ничья)=4/36=1/9 2. Победил Б, для этого ему нужно выбросить более 9 очков.

Рассчитаем варианты Количество очковЧисло вариантов 103(4+6,5+5,6+4) 112(5+6,6+5) 121(6+6) Итого6 Тогда:

Вероятность последующих событий. Пусть последовательно исследуются два независимых события A 1 и A 2, причем их вероятности соответственно P(A 1 ) и P(A 2 ). Тогда вероятность события A, состоящего в том, что последовательно произойдут события A 1 и A 2 может быть вычислена:

Доказательство. Пусть событие A 1 реализуется числом благоприятных исходов n 1 из числа возможных исходов N 1, а событие A 2 реализуется числом благоприятных исходов n 2 из числа возможных исходов N 2. Так события A 1 и A 2 независимы, то число благоприятных исходов для события A n=n 1 ·n 2, а число возможных исходов для события A N=N 1 ·N 2. Тогда вероятность события A

Важное замечание! При расчете вероятности нескольких последующих событий важно проверить, не изменилась ли ситуация!

Пример 2 В ящике 4 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирают один шар, затем кладут его на место и вынимают второй шар. Найти вероятность, что дважды вытащен черный шар.

Решение Всего 4+6=10 шаров, т.е. 10 равновозможных вариантов. Необходимо при первой попытке вытащить черный шар. Это можно сделать 6 способами. Вероятность этого события, назовем его событие A 1, составляет

Перед второй попыткой вытащенный шар положили на место! В ящике по-прежнему всего 4+6=10 шаров, т.е. 10 равновозможных вариантов. Необходимо при второй попытке вытащить черный шар. Это можно сделать 6 способами. Вероятность этого события, назовем его событие A 2, составляет также

Вероятность события A, состоящего в том, что дважды был вытащен черный шар

Пример 3 В ящике 4 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирают один шар, затем откладывают его в сторону и вынимают второй шар. Найти вероятность, что дважды вытащен черный шар.

Решение Всего 4+6=10 шаров, т.е. 10 равновозможных вариантов. Необходимо при первой попытке вытащить черный шар. Это можно сделать 6 способами. Вероятность этого события, назовем его событие A 1, составляет

Перед второй попыткой вытащенный шар не положили на место! В ящике теперь всего 4+5=9 шаров, т.е. 9 равновозможных вариантов. Необходимо при второй попытке вытащить черный шар. Это можно сделать 5 способами. Вероятность этого события, назовем его событие A 2, составляет

Вероятность события A, состоящего в том, что дважды был вытащен черный шар

Домашнее задание 1.Теорию событий выучить! 2.Основы теории вероятности и правила расчета вероятности разобрать и если что-то непонятно подготовить вопросы. 3.Задачи.

Задача 1 В ящике 4 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирают два шара. Найти вероятность, вытащенные шары окажутся разного цвета. Рассмотреть случаи, когда первый вытащенный шар откладывают в сторону и вынимают второй шар и когда его кладут на место перед второй попыткой.

Задача 2 В 30-е годы каждому велосипедисту полагался номер, включающий в себя 4 цифры от 0 до 9 на любой позиции. Некто купил велосипед и пошел получать номер. Будучи человеком суеверным и зная, что есть такай противная неисправность как «восьмерка» он страшно боялся, что в номере будет присутствовать хотя бы одна цифра 8. Однако по дороге он успокоил себя, решив, что т.к. «плохая» цифра 1 из десяти, то вероятность этого крайне мала: p=0.1. Какова в действительности эта вероятность? Чему она была бы равна, если число цифр в номере было бы 8, а не 4?

Задача 3 Перед последним туром чемпионата страны по футболу «ЦСКА», «Локомотив», «Зенит», «Спартак» и «Торпедо» набрали равные показатели. Однокруговой турнир ничего не дал – одни ничьи. Было решено провести турнир по пенальти. Считая пенальти лотереей и шансы команд абсолютно равными найти вероятность события, что «Зенит» будет с медалями, а «Спартак» - нет.