Внутренний язык топоса: новый альянс логики и геометрии Андрей Родин Санкт-Петербург, июня 2008

План Классическая модель науки: Аристотель и Фреге; Диаграммы Эйлера-Венна: геометрическая логика; "Начала" Евклида и "Начала" Гильберта; Логицизм в математике и математизм в логике; Внутренняя логика топоса; Заключение: логика, язык и естественные науки.

Классическая модель науки "Аксиома это мысль, чья истина несомненна, но при этом не может быть доказана с помощью цепи логических выводов. Аксиомами являются, например, законы логики. … Аксиомы не противоречат друг другу, поскольку они истинны." (Фреге, Об основаниях геометрии) Структура теории: всеобщие логические аксиомы + специальные аксиомы Пример: ZF Аристотель: фундаментальная роль логики, логика и метафизика (ср. закон тождества) Вопрос: как устрооены аксиоматические геометрические теории (??)

Диаграммы Эйлера-Венна: геометрическая логика А Б А или БА Б А и Б А Б не-А \А истина Классическая или интуиционистская логика? Булева или Гейтинговская решетка? Логика в основаниях геометрии или наоборот?

"Начала" Евклида Постулат 1: провести прямую линию от данной точки до данной точки Аксиома 1: равные одному и тому же равны между собой Проблема 1: на данной прямой построить равносторонний треугольник. Теорема 5: Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Постулаты не имеют истинностных значений! Проблемы и теоремы имеют общую структуру (Прокл): (1) предложение, (2) выставление, (3) ограничение, (4) построение, (5) доказательство, (6) заключение.

"Начала" Гильберта Ответ Гильберта на критику Фреге: "Вы говорите, что мои понятия, например, "точка" и "между" не определены одназначным образом. Но ведь совершенно оче- видно, что любая теория это только схема, определяющая необходимые отношения между понятиями, и что базовые эле- менты каждый волен понимать как хочет. …." Цена логицизма: формализация, различие между синтаксисом и семантикой, проблема интерпретации (ср парадокс Сколема) Вывод: Классическая модель науки плохо работает в математике.

Логицизм в математике: сильная версия: сведение математики к логики (Рассел) слабая версия: Классическая модель науки (Фреге, Гильберт ?, Цермело, Тарский…) Математизм в логике: сильная версия: сведение логики к математике ( "интуиционисты" Брауэр и Пуанкаре) слабая версия: логика - часть математики Почему Брауэр не принял формализацию интуицио- нистской логики Гейтингом? "Неформальная строгость" Крейзеля

Внутренняя логика топоса МакЛейн и Эйленберг (40-е гг. 20 в.): теория категорий Гротендик (60-е гг. 20 в.): топос (пучков) как категорное обобщение понятия топологического пространства Ловер (60-е гг. 20 в.): аксиоматическое описание топоса как категории особого вида; пред-пучки ("переменные множества") вместо пучков. Интернализация кванторов и истинностных значений. Примеры. Ловер, Тьерни - "логические свойства" топоса Логические и геометрические морфизмы топосов. Изменение взгляда на соотношение синтаксиса и семантики, логики и геометрии. Математизм в логике?

Заключение: логика, язык и естественные науки Научная революция Нового Времени связана с отказом от Классической (схоластической) модели науки. Возрождение схоластической метафизики в Аналитической философии. От логического эмпиризма (позитивизма) к полноценному эмпиризму в духе Милля: логика и язык как часть реальности. Революция в геометрии (19 в) и логике (20 в). Логический плюрализм? Топосные основания математики.