8 класс. Учитель: Мельник Л.Г. Теорема Пифагора

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже.Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей» Составляли стихи «Пифагоровы штаны на все стороны равны» с² = а² + в²

Существует свыше 100 способов доказательства теоремы Пифагора. Основная задача урока – познакомить учащихся с некоторыми способами доказательства теоремы Пифагора:

Самое простое доказательство теоремы Пифагора. Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна a + c. В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c. В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c. Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

2. Доказательство индийского математика Бхаскари. Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна b, на квадрат наложены 4 исходных треугольника с катетами a и c, как показано на рисунке. Сторона маленького квадрата, получившегося в центре, равна c - a, тогда: b2 = 4*a*c/2 + (c-a)2 = = 2*a*c + c2 - 2*a*c + a2 = = a2 + c2

3. Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора (доказательство Мёльманна). Площадь прямоугольного треугольника S = a*c/2 (3.1) С другой стороны (см. Полезные формулы расчета, Формула расчета радиуса вписанной окружности): S = r*p, где r радиус вписанной окружности, r = (a+c-b)/2. p полупериметр. Таким образом: S = r*p = (a+b+c)/2 * (a+c-b)/2 = = (a2+2*a*c+c2-b2)/4 С учетом (3.1): a*c/2 = (a2+2*a*c+c2-b2)/4 Приводя к общему знаменателю и перенося в левую часть, получим: a2+c2-b2 = 0, или a2+c2 = b2Полезные формулы расчета

Итоги урока: Ознакомились с некоторыми доказательствами теоремы Пифагора. Задание на дом : Доказательство теоремы Пифагора.