Аппроксимация функций Понятие о приближении функций.

Пусть дискретному множеству значений аргумента поставлено в соответствие множество значений функции (i = 0,1,..., n). (эти значения либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные).

задача о приближении (аппроксимации) функции: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией так, чтобы отклонение от f(x) в заданной области было наименьшим. - аппроксимирующая функция.

Точечная аппроксимация. интерполирование: состоит в следующем: для данной функции у = f(x) строится интерполирующая функция принимающая в заданных точках те же значения y i, что и функция f (x), т. е. ( например )

При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых, т. е. при. Точки - узлы интерполяции.

Интерполирующая функция может строиться сразу для всего рассматриваемого интервала изменения х (глобальная интерполяция) или отдельно для разных частей этого интервала (кусочная или локальная интерполяция).

Обычно интерполирование используется для аппроксимации функции в промежуточных точках между крайними узлами интерполяции, т. е. при Если оно применяется для приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка (, ), то это приближение называют экстраполяцией.

Мерой отклонения функции ( от заданной функции f(x) на множестве точек (i = 0,1,..., n) величина S

Аппроксимирующую функцию нужно подобрать так, чтобы величина S была наименьшей.

Непрерывная аппроксимация. (равномерное приближение). говорят, что функция равномерно (непрерывно) приближает (аппроксимирует) функцию f(x) с точностью на отрезке если во всех точках этого отрезка выполняется:

Абсолютное отклонение: среднеквадратичное отклонение:

Возможность построения многочлена, равномерно приближающего данную функцию, следует из теоремы Вейерштрасса об аппроксимации. Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то для любого существует многочлен степени, абсолютное отклонение которого от функции f(x) на отрезке меньше.

В частности, если функция f(x) на отрезке разлагается в равномерно сходящийся степенной ряд, то в качестве аппроксимирующего многочлена можно взять частичную сумму этого ряда.

многочлен фиксированной степени является наилучшим приближением функции f(x), если коэффициенты многочлена выбраны так, чтобы на заданном отрезке величина абсолютного отклонения минимальна.

Существование и единственность многочлена наилучшего равномерного приближения вытекает из следующей теоремы. Теорема. Для любой функции f (x), непрерывной на замкнутом ограниченном множестве G, и любого целого существует многочлен степени не выше, абсолютное отклонение которого от функции f (x) среди всех многочленов степени не выше минимально, т. е., причем такой многочлен единственный. Множество G обычно представляет собой некоторый отрезок

Вычисление многочленов. При аппроксимации функций, а также в некоторых других задачах приходится вычислять значения многочленов вида Если проводить вычисления непосредственно, то при больших n потребуется выполнить большое число операций (n 2 + n/2 умножений и n сложений).

для исключения возведения х в степень в каждом члене многочлен целесообразно переписать в виде

Прием, с помощью которого многочлен представляется в таком виде, называется схемой Горнера. Ввод n, {a i }, x P = a n для i = n - 1 до 0 с шагом -1 P = ai + x PP = ai + x P Вывод P

Линейная интерполяция. заданные точки соединяются прямолинейными отрезками, и функция f (x) приближается ломаной с вершинами в данных точках.

для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки, Отсюда т.к. для получаем

Таким образом при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х, а затем подставить его в формулу и найти приближенное значение функции в этой точке.

квадратичная интерполяция. В качестве интерполяционной функции на отрезке принимается квадратный трехчлен (параболическая интерполяция).

Уравнение квадратного трехчлена

Для определения коэффициентов используются условия прохождения параболы через три точки

Интерполяция для любой точки проводится по трем ближайшим к ней узлам.