ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА Аладин Дмитрий 9 класс А Школа 1367

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Многогранник – это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Многогранник – это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника. Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости, каждой из его граней. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости, каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани образуют равные углы. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани образуют равные углы. Все правильные многогранники имеют разное число граней и названия получили по этому числу. Все правильные многогранники имеют разное число граней и названия получили по этому числу. Правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше. Правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Тетраэдр ( от,,тетра– четыре и греческого,,hedra – грань) составлен из 4-х правильных треугольников, в каждой его вершине сходятся 3 ребра. Тетраэдр ( от,,тетра– четыре и греческого,,hedra – грань) составлен из 4-х правильных треугольников, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Гексаэдр ( от греческого,,гекса – шесть и,,hedra – грань) имеет 6 квадратных граней, в каждой его вершине сходятся 3 ребра. Гексаэдр ( от греческого,,гекса – шесть и,,hedra – грань) имеет 6 квадратных граней, в каждой его вершине сходятся 3 ребра. Гексаэдр больше известен как куб (от латинского,, cubus ; от греческого,,kubos. Гексаэдр больше известен как куб (от латинского,, cubus ; от греческого,,kubos.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Октаэдр (от греческого okto – восемь и hedra – грань) имеет 8 граней (треугольных), в каждой вершине сходятся 4 ребра. Октаэдр (от греческого okto – восемь и hedra – грань) имеет 8 граней (треугольных), в каждой вершине сходятся 4 ребра.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) имеет 12 граней (пятиугольных), в каждой вершине сходятся 3 ребра. Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) имеет 12 граней (пятиугольных), в каждой вершине сходятся 3 ребра.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Икосаэдр (от греческого eikosi – двадцать и hedra – грань) имеет 20 граней (треугольных), в каждой вершине сходится 5 рёбер. Икосаэдр (от греческого eikosi – двадцать и hedra – грань) имеет 20 граней (треугольных), в каждой вершине сходится 5 рёбер.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Древнегреческий философ Платон, (428 или 427 до н. э. 348 или 347), проводивший беседы со своими учениками в роще Академа (Академ – древнегреческий мифологический герой, которого, по преданию, похоронили в священной роще недалеко от Афин, откуда и пошло название,,академия), одним из девизов своей школы провозгласил:,, Не знающие геометрии не допускаются! Древнегреческий философ Платон, (428 или 427 до н. э. 348 или 347), проводивший беседы со своими учениками в роще Академа (Академ – древнегреческий мифологический герой, которого, по преданию, похоронили в священной роще недалеко от Афин, откуда и пошло название,,академия), одним из девизов своей школы провозгласил:,, Не знающие геометрии не допускаются!

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА В диалоге,,Тимей Платон связал правильные многогранники с четырьмя основными стихиями. Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным. Хотя правильные многогранники были известны пифагорейцам за несколько веков до Платона, но их называют платоновыми телами. В диалоге,,Тимей Платон связал правильные многогранники с четырьмя основными стихиями. Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным. Хотя правильные многогранники были известны пифагорейцам за несколько веков до Платона, но их называют платоновыми телами. Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера. Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Из правильных многогранников – Платоновых тел – можно получить так называемые полуправильные многогранники, или архимедовы тела. Гранями их являются также правильные, но разноименные многоугольники. Из правильных многогранников – Платоновых тел – можно получить так называемые полуправильные многогранники, или архимедовы тела. Гранями их являются также правильные, но разноименные многоугольники.

Формула Эйлера Многогран- ник ВершиныГраниРёбраВ+Г-Р Тетраэдр4462 Гексаэдр86122 Октаэдр68122 Додекаэдр Икосаэдр Подсчитаем число вершин (В), граней (Г), рёбер (Р) запишем результаты в таблицу. Подсчитаем число вершин (В), граней (Г), рёбер (Р) запишем результаты в таблицу. В последней колонке для всех многогранни- ков один и тот же результат: В+Г- Р=2. В последней колонке для всех многогранни- ков один и тот же результат: В+Г- Р=2. Формула верна не только для правильных многогранников, но и для всех многогранников! Формула верна не только для правильных многогранников, но и для всех многогранников!

,,Закон взаимности У правильных многогранников есть интересная особенность – своеобразный,,закон взаимности. Центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра – вершинами куба. У правильных многогранников есть интересная особенность – своеобразный,,закон взаимности. Центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра – вершинами куба.

,,Закон взаимности Центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра, а центры граней икосаэдра – вершинами додекаэдра. Центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра, а центры граней икосаэдра – вершинами додекаэдра.

,,Закон взаимности Особняком от этих 4-х многогранников стоит тетраэдр: если считать центры его граней вершинами нового многогранника, то вновь получится тетраэдр. Особняком от этих 4-х многогранников стоит тетраэдр: если считать центры его граней вершинами нового многогранника, то вновь получится тетраэдр. Тетраэдр двойствен сам себе. Тетраэдр двойствен сам себе.

,,Закон взаимности Куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр – это две пары двойственных многогранников. У них одинаковое число рёбер (12 – у куба и октаэдра; 30 – у додекаэдра и икосаэдра), а числа вершин и граней переставлены. Куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр – это две пары двойственных многогранников. У них одинаковое число рёбер (12 – у куба и октаэдра; 30 – у додекаэдра и икосаэдра), а числа вершин и граней переставлены.

Правильные многогранники вокруг нас Теория правильных многоугольников и многогранников - один из самых увлекательных и ярких разделов математики. Но закономерности, открытые математиками, удивительным образом связаны с симметрией живой и неживой природы – с формами различных кристаллов, точной формой вирусов, с современными теориями в физике, биологии и других областях знания. Теория правильных многоугольников и многогранников - один из самых увлекательных и ярких разделов математики. Но закономерности, открытые математиками, удивительным образом связаны с симметрией живой и неживой природы – с формами различных кристаллов, точной формой вирусов, с современными теориями в физике, биологии и других областях знания.

Правильные многогранники вокруг нас Например: одноклеточные организмы феодарии, имеют форму икосаэдра одноклеточные организмы феодарии, имеют форму икосаэдра куб передает форму кристаллов поваренной соли куб передает форму кристаллов поваренной соли монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра бор – икосаэдра бор – икосаэдра

Библиография 1.Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3 – М.: Баласс, Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3 – М.: Баласс, Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 классы. Пособие для учителей. – М.: Издательство НЦ ЭНАС, Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 классы. Пособие для учителей. – М.: Издательство НЦ ЭНАС, Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М.: Мирос, Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М.: Мирос, Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, Энциклопедия для детей. Я познаю мир.Математика. – М.: Издательство АСТ, Энциклопедия для детей. Я познаю мир.Математика. – М.: Издательство АСТ, 1999