Решение геометрических задач при подготовке к ЕГЭ Титова В.А., учитель математики МОУ СОШ 5 ?

Содержание 1. Справочная информация.Справочная информация. 2. Задания диагностических работ по типу ЕГЭ: - В 4; - В4; для самостоятельного решения - В 6; - В 6; для самостоятельного решения - В 11; - В 11; для самостоятельного решения - С 2; - С 2; для самостоятельного решения

СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

треугольники четырехугольники правильные многоугольники правильные многоугольники окружность векторы

Прямоугольный треугольник b c a Решение прямоугольных треугольников Теорема Пифагора: где а – катет, противолежащий α; b - катет, прилежащий к α. Середина гипотенузы равноудалена от его вершин: МА=МВ=МС. a b c Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике: - проекции катетов на гипотенузу. b а Площадь прямоугольного треугольника: Справочные сведения Треугольники

Равнобедренный треугольник h Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. Высоты, проведённые к боковым сторонам, равны; медианы, проведённые к боковым сторонам, равны; биссектрисы углов при основании равны. Справочные сведения Треугольники

Произвольный треугольник b с h a Площадь треугольника: S = p r; где р – полупериметр А b c C a B Сумма углов в треугольнике: Теорема синусов: Теорема косинусов:

А С В D F E Подобие треугольников в подобных треугольниках (соответствующие стороны лежат против равных углов) А О Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины угла (АО : ОА 1 = 2 : 1) a b x y Биссектриса угла делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (а : b = x : y). Длина биссектрисы Справочные сведения Треугольники

Параллелограмм В С О φ α A D Свойства ABCD – параллелограмм AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD, AO = OC, BO = OD, Признаки AB CD, BC AD ABCD – параллелограмм; AO = OC, BO = OD ABCD – параллелограмм; AB = CD, BC = AD ABCD – параллелограмм; AB = CD, AB CD ABCD – параллелограмм; BC = AD, BC AD ABCD – параллелограмм Площадь: Справочные сведения Четырехугольники

Прямоугольник В С О A D Свойства ABCD – прямоугольник AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD; AO = BO = CO = DO (О – центр описанной окружности, ОА = R). Признаки ABCD – параллелограмм, АС = BD ABCD – прямоугольник. ABCD – параллелограмм, ABCD – прямоугольник. Площадь Справочные сведения Четырехугольники

Ромб В А h О С α a D Свойства ABCD – ромб AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD; ;, АО = ОС, ВО = ОD; Признаки AB = CD, BC = AD ABCD – ромб ABCD – параллелограмм, АС BD ABCD – прямоугольник. ABCD – параллелограмм, ABCD – ромб Площадь Справочные сведения Четырехугольники

Квадрат В С а О d A D Свойства ABCD – квадрат AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD;, AO = BO = CO = DO; Признаки ABCD – прямоугольник, AB = CD = BC = AD ABCD – квадрат; ABCD – ромб, ABCD – квадрат. Площадь Справочные сведения Четырехугольники

Произвольная трапеция B C φ O A D Треугольники AOD и СОВ подобны. Треугольники АОВ и DOC равновелики (их площади равны) Площадь трапеции: a m h b Средняя линия трапеции: Площадь трапеции: b c r d a Вписанная в окружность трапеция – равнобедренная. В описанной около окружности трапеции: высота равна диаметру: h = 2 r; сумма оснований равна сумме боковых сторон: a + b = c + d; полусумма боковых сторон равна средней линии: c + d = m; (боковая сторона равнобедренной трапеции равна средней линии). Справочные сведения Четырехугольники

Равнобедренная трапеция В С A D Углы при оснований равны: B C O A D Диагонали равны: АС = ВD; отрезки диагоналей равны: АО = DO, BO = CO; углы, образованные основанием и диагоналями, равны: B C h m A H D Основание высоты, проведённой к большему основанию, делит основание на отрезки, равные (если ВН – высота, то DH = m, где m – средняя линия). Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота, проведённая к основанию, равна средней линии: h = m. В этом случае площадь трапеции можно найти по формуле: Справочные сведения Четырехугольники

Сумма углов многоугольника В выпуклом многоугольнике сумма углов равна где n – число сторон (вершин) многоугольника. Свойства правильного многоугольника О R r A B Все стороны равны, все углы равны, О – центр вписанной и описанной окружностей, R – радиус описанной окружности, лежит на биссектрисе угла, r – радиус вписанной окружности, лежит на серединном перпендикуляре к стороне Центральный угол: Внутренний угол: Внешний угол равен центральному углу: Справочные сведения Правильные многоугольники

Примеры равнобедренных треугольников, боковыми сторонами которых являются две стороны многоугольника, два радиуса или равные диагонали: d a R r r R R R d a Примеры прямоугольных треугольников (вписанный угол опирается на диаметр) Справочные сведения Правильные многоугольники

Окружность и её элементы Радиус, проходящий через середину хорды, перпендикулярен этой хорде. Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного касательными, проведёнными из одной точки. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен Справочные сведения Окружность

Окружность и её элементы m Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. n Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Справочные сведения Окружность

Окружность, вписанная в треугольник Отрезок, соединяющий центр окружности и точку её касания со стороной, перпендикулярен этой стороне. Отрезки двух соседних сторон от общей вершины до точек касания равны между собой. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, образованного двумя сторонами. Справочные сведения Окружность

Окружность, описанная около треугольника Центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой из сторон треугольника. Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром окружности. Угол вписанного в окружность треугольника в 2 раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен любому другому вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Справочные сведения Окружность

Сложение и вычитание векторов В В С A CA D D A Правило треугольника: Правило параллелограмма: Сумма нескольких векторов: А О В А В А О Вычитание векторов: Скалярное произведение векторов: а b В координатах: Справочные сведения Векторы

Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( ) В 4.1 В треугольнике АВС, АВ= 30,. Найдите sin А. А 30 С В В 4.2 В треугольнике АВС, АВ =29,. Найдите АС. А 29 С В В 4.3 В треугольнике АВС АС=ВС, АВ = 8,. Найдите высоту СН. С В 8 Н А В 4.4 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ = 10, а высота, проведённая к основанию, равна. Найдите косинус угла А. В 10 ? А Н С

Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( , ) задания для самостоятельного решения В 4.5 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ = 17,. Найдите высоту, проведённую к основанию. В 4.6 В треугольнике АВС, АВ= 14, АС =. Найдите sin А. В 4.7 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ = 10, а высота, проведённая к основанию, равна. Найдите косинус угла А. В 4.8 В треугольнике АВС Найдите АВ.

Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( , ) На клетчатой бумаге с клетками размером 1х1 см изображён треугольник. Найдите его площадь. Решение: В 6.1 В 6.2 В 6.3 В 6.4

Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( , ) На клетчатой бумаге с клетками размером 1х1 см изображён треугольник. Найдите его площадь. Решение В 6.5 В 6.6 В 6.7

Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( ) Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке. Решение: В 6.8 В 6.9 В 6.10

Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения Найти площадь треугольникаОтветы В 6.11 В 6.12 В 6.13

Треугольники ЕГЭ 2009 (В-11) 1. Площадь параллелограмма АВСD равна 16, диагональ АС равна 2, Найдите сторону ВС. Решение: 1. S ACD = 0,5S ABCD = 0,516 = 8 S ACD = 0,5ACCDsin 2. По свойству параллелограмма: ВC = AD По теореме косинусов: -10 не удовлетворяет смыслу задачи. Ответ: 10.

Треугольники Задачи В-11 (ЕГЭ 2009) для самостоятельного решения 1. Точка О является центром окружности, описанной около треугольника АВС. Найдите площадь треугольника АОС, если известно, что ВС = 6, (Ответ: 18) 2. В равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным 1, вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата. (Ответ: 2) 3. В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен 0,8, а радиус вписанной окружности равен 6. Найдите периметр данного треугольника. (Ответ: 64) 4. В равнобедренном треугольнике АВС, с основанием АС медиана ВМ и высота СН пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что СК = 1, а косинус угла при вершине В равен 0,8. (Ответ:2,7)

Диагностическая работа ЕГЭ ( ) С -2.1 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 В 1 C 1 D 1, у которого AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями АCD 1 и А 1 В 1 С 1. Решение: 1) Вместо плоскости А 1 В 1 С 1 возьмём параллельную ей плоскость АВС. 2) Пусть Е – середина АС. - линейный угол искомого угла. 3) Из прямоугольного треугольника D 1 DE находим: Ответ:

Тренировочный вариант ЕГЭ 2010 С – 2.2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостью А 1 ВС и прямой ВС 1, если АА 1 = 8, АВ = 6, ВС = 15. Решение: 1) Сечение плоскостью А 1 ВС есть прямоугольник A 1 BCD 1. 2) Из точки С 1 проведём перпендикуляр С 1 Н к СD 1. ВН – проекция ВС 1 на плоскость А 1 ВС. Значит, нужно найти угол С 1 ВН. 3) В прямоугольном Δ D 1 C 1 C находим: 4) В прямоугольном Δ ВC 1 C находим: 5) В прямоугольном Δ ВНC 1 находим: Ответ:

Диагностическая работа ЕГЭ ( ) С – 2.3 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой АD 1. Решение: 1) Построим отрезки СD 1 и АС. 2) Искомое расстояние равно длине перпендикуляра СН, проведённого к прямой АD 1. Этот перпендикуляр является медианой равностороннего треугольника АСD 1 со стороной 3) Ответ:

Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения С – 2.4 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостью АА 1 С и прямой ВА 1, если АА 1 = 3, АВ = 4, ВС = 4. Ответ: С – 2.5 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой ВD 1. Ответ: С – 2.6 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого AB = 4, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями CDD 1 и BDA 1. Ответ:

Теорема косинусов - не удовлетворяет смыслу задачи. Ответ:

Теорема косинусов - не удовлетворяет смыслу задачи. Ответ:

Теорема Пифагора