Дифференциальные уравнения Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Дифференциальные уравнения Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
Advertisements

{ алгоритм решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - действительные корни характеристического уравнения.
Дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод вариации произвольных постоянных Линейные неоднородные.
Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (однородные с постоянными коэффициентами,
Обыкновенные дифференциальные уравненияОбыкновенные дифференциальные уравнения.
Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами Лекция 6.
Дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка.
{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан.
Выполнил : Студент группы К -11 Лысяк Василий. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Однородные дифференциальные.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами - постоянные.
Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.
4. Линейные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.
1.Способ неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неопределенного линейного уравнения.
Уроки 8-9 Дифференциальные уравнения второго порядка.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-8. Линейным ДУ (любого порядка) называется такое уравнение, в которое искомая функция у и её производные входят в первых степенях,
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Определение: Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше второго порядка,
Company Logo ДУ с разделяющимися переменными 1. ДУ с разделенными переменными. y' = f( x) или f (x) d x + (y) d y = 0 2. ДУ с разделяющимися.
Дифференциальные уравнения высших порядков Теорема о наложении решений Системы дифференциальных уравнений 1/91/9.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5.
Транксрипт:

Дифференциальные уравнения Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Однородные Д.У. с постоянными коэффициентами. Рассмотрим уравнение где - постоянные действительные числа Пусть функция - решение Д.У. - корень алгебраического уравнения

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Определение. Алгебраическое уравнение соответствующее данному ЛОДУ, называется характеристическим уравнением. Обратное утверждение: Пусть - корень характеристического уравнения. Тогда функция -частное решение ЛОДУ. Замечание. Алгебраическое уравнение степени n с действительными коэффициентами имеет n решений.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Свойства решений ЛОДУ. 1. Линейность. - решения ЛОДУ - решение ЛОДУ. Доказать самостоятельно.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 2. Критерий линейной независимости системы решений ЛОДУ. Пусть - частные решения ЛОДУ порядка n в. Теорема. Система функций линейно независимая в

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Определение ФСР. Фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОДУ - порядка n называется система n линейно независимых решений ЛОДУ.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Теорема о структуре общего решения ЛОДУ. Пусть при система образует ФСР ЛОДУ порядка n. Тогда общее решение ЛОДУ порядка n имеет вид с произвольными постоянными

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ФСР в случае различных действительных корней. Доказательство (при n=2) образуют ФСР

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Случай кратных действительных корней. Пусть действительное число - корень уравнения кратности В ФСР ЛОДУ ему соответствуют решений вида

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Случай кратных действительных корней. Пусть действительное число - корень уравнения кратности В ФСР ЛОДУ ему соответствуют решений вида Пример Замена: 3. Характеристическое уравнение: 4. ФСР: (кратность 2)

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ФСР в случае, когда некоторые корни комплексные. 1. Случай простого комплексного корня. Пусть - комплексный корень характеристического уравнения тогда - также корень этого уравнения. Функции - решения ЛОДУ. Функции линейно независимые, так как Функции вместе с другими (n-2) -линейно независимыми решениями ЛОДУ образуют ФСР.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Преобразуем функции с помощью формулы Эйлера: Функции являются действительными функциями переменной х; являются решениями ЛОДУ; являются линейно независимыми Образуют (вместе с другими) ФСР

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Примеры. 1. Найти ФСР уравнения Шаг 1. Запишем характеристическое уравнение и решим его: Шаг 2. Запишем ФСР ЛОДУ:

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Примеры. 2. Найти ФСР уравнения Шаг 1. Запишем характеристическое уравнение и решим его: Шаг 2. Запишем ФСР ЛОДУ:

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 2. Случай кратных комплексных корней. Пусть комплексное число корень кратности число - тоже корень кратности В ФСР ЛОДУ им соответствуют решений вида

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Свойства решений ЛНДУ частные решения ЛНДУ - решение ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Свойства решений ЛНДУ частные решения ЛНДУ - решение ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ. Доказательство.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 2. Принцип суперпозиции.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 2. Принцип суперпозиции. Доказательство.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Теорема о структуре общего решения ЛНДУ частное решение ЛНДУ порядка n ФСР ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ. Общее решение ЛНДУ имеет вид - произвольные постоянные

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим уравнение где - постоянные коэффициенты и имеет специальный вид. Правило.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Примеры. 1. Найти общее решение уравнения Шаг 1. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ: Шаг 2. Найдем частное решение ЛНДУ: Шаг 3. Запишем общее решение ЛНДУ:

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 2. Найти общее решение ЛНДУ Шаг 1. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ: Шаг 2. Найдем частное решение ЛНДУ: Шаг 3. Запишем общее решение ЛНДУ:

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные Д.У. Метод вариации произвольных постоянных ( метод Лагранжа ). Теорема. - ЛНДУ порядка n с непрерывными коэффициентами. - ФСР ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Частный случай. Рассмотрим ЛНДУ второго порядка Пусть - ФСР соответствующего ЛОДУ. Тогда

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Пример. Решение. 1. ЛОДУ ФСР 2. Общее решение ЛОДУ 3. Частное решение ЛНДУ 4. Найдем 5. Общее решение ЛНДУ