НЕРАВЕНСТВА

ВВЕДЕНИЕ Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Архимед указал границы числа : Архимед указал границы числа : 223/71 22/7. 223/71 22/7. В « Математике собрании » Паппа Александрийского (||| в.) доказывается, что если a/b>c/d (a,b,c,d – положительные числа ), то ad>bc. В « Математике собрании » Паппа Александрийского (||| в.) доказывается, что если a/b>c/d (a,b,c,d – положительные числа ), то ad>bc. Знаки ввёл английский математик Т. Гарриот ( ), знаки и французский математик П. Буге ( ). Знаки ввёл английский математик Т. Гарриот ( ), знаки и французский математик П. Буге ( ).

ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА Для произвольных чисел a и b выполняется одно и только одно из соотношений : a=b, a b. Для произвольных чисел a и b выполняется одно и только одно из соотношений : a=b, a b. Число a больше числа b, если разность a-b - положительное число ; число a меньше числа b, если разность a-b - отрицательное число. Число a больше числа b, если разность a-b - положительное число ; число a меньше числа b, если разность a-b - отрицательное число.

ПРИМЕРЫ Сравним 5/8 и 4/7. Приведём их к общему знаменателю : 5/8=35/56; 4/7=32/56. Так как 35>32, то 5/8>4/7. Сравним 5/8 и 4/7. Приведём их к общему знаменателю : 5/8=35/56; 4/7=32/56. Так как 35>32, то 5/8>4/7. Докажем, что при любых значениях a верно неравенство (a-3)(a-5)

СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ Если a>b, то b a. Если a>b, то b a. Если a

Сложение и умножение числовых неравенств Если a

Решение неравенств с одной переменной Решение неравенств с одной переменной Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Решение систем неравенств с одной переменной Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы. Решить систему - значит найти все её решения или доказать, что решений нет. Решить систему - значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

ПРИМЕРЫ Решим неравенство 16 х >13 х +45. Перенесем слагаемое 13 х с противоположным знаком в левую часть неравенства : 16 х -13 х >45. Приведём подобные члены : 3 х >45. Умножим обе части на 1/3 : х >15. Решим неравенство 16 х >13 х +45. Перенесем слагаемое 13 х с противоположным знаком в левую часть неравенства : 16 х -13 х >45. Приведём подобные члены : 3 х >45. Умножим обе части на 1/3 : х >15. Решим неравенство х /3 - х / Решим неравенство х /3 - х /2 -12.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Рациональные неравенств – это неравенства вида P n (x)/Q m (x)>0(, 0(,

ПРИМЕРЫ ПРИМЕР. Множество решений неравенства (x² - 7x+12)/(2x²+4x+5)>0 имеет вид ПРИМЕР. Множество решений неравенства (x² - 7x+12)/(2x²+4x+5)>0 имеет вид 1)(-; 3)U(4; ) 2) (-; 3) 3) (3; 4) 4) (4; ) 5) (-;4). 1)(-; 3)U(4; ) 2) (-; 3) 3) (3; 4) 4) (4; ) 5) (-;4). РЕШЕНИЕ. Так как дискриминант знаменателя D1=4²-4*5*2 отрицателен и старший коэффициент положителен, то 2x²+4x+5>0 для любого значения x. Тогда заданное неравенство равносильно неравенству x²-7x+12>0 или (x-3)(x-4)>0. РЕШЕНИЕ. Так как дискриминант знаменателя D1=4²-4*5*2 отрицателен и старший коэффициент положителен, то 2x²+4x+5>0 для любого значения x. Тогда заданное неравенство равносильно неравенству x²-7x+12>0 или (x-3)(x-4)>0. Отметим корни и знаки квадратного трёхчлена Отметим корни и знаки квадратного трёхчлена x²-7x+12 на соответствующих промежутках числовой оси. x²-7x+12 на соответствующих промежутках числовой оси. Решением неравенства является множество (-; 3)U(4; ). Решением неравенства является множество (-; 3)U(4; ). ОТВЕТ : 1. ОТВЕТ : 1.

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем.

ПРИМЕРЫ ПРИМЕР. Решить неравенство (x-1)x²-x-20. D(f)=(-;-1]U[2;+). Х - 10; Х =1; Х >2; Ответ : Х =1; Х >2.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА Два тригонометрических выражения, соединённых между собой знаками «>» или « » или «

ПРИМЕРЫ Решим неравенство sin х >1/2. Все значения у на промежутке NM больше 1/2. NM стягивает дугу AB с началом в точке А ( п /6; ½) и с концом в точке B(5 п /6; ½). Следовательно, решением неравенства будут все значения на ( п /6; 5 п /6) с прибавлением 2 п n, т. е. п /6+2 п n< х < 5 п /6+2 п n, n принадлежит Z.

НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля : При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля : f( х ), если f( х )0, f( х ), если f( х )0, |f( х )|= |f( х )|= - f( х ), если f( х )

ПРИМЕРЫ Пример. Решить неравенство | х - 1|

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА f(x) g(x) f(x) g(x) При решении неравенств вида а > а следует помнить, что х При решении неравенств вида а > а следует помнить, что х показательная функция у = а возрастает при а >0 и убывает при показательная функция у = а возрастает при а >0 и убывает при 0 1, от данного неравенства следует переходить к неравенству того же смысла f(x)>g(x). 0 1, от данного неравенства следует переходить к неравенству того же смысла f(x)>g(x). В случае же, когда 0

ПРИМЕРЫ Пример. Решить неравенство 3 х +7 2 х - 1 Пример. Решить неравенство 3 х +7 2 х < 2. 2 < 2. Решение. Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла : 3 х +7

НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ. Неравенство Неравенство (a, b, c, …, k, x)> (a, b, c, …, k, x), (a, b, c, …, k, x)> (a, b, c, …, k, x), где a, b, c, …, k – параметры, а x действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры. где a, b, c, …, k – параметры, а x действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

ПРИМЕРЫ Пример. Найти значение параметра а, при котором наименьшее решение неравенства (ах – 10)/х1 равно -2. Пример. Найти значение параметра а, при котором наименьшее решение неравенства (ах – 10)/х1 равно -2. Решение. (ах – 10)/х – 10 => ((а – 1)х – 10)/х0 => (а – 1)(х – 10/(а – 1))/х0. Пусть а – 1>0. Тогда последнее неравенство пишется в виде ( х – 10/(а – 1))/х0. Его решением является объединение множеств (-; 0)U[10/(а – 1); +], которое не содержит наименьшего отрицательного числа. Следовательно, а – 1 ((а – 1)х – 10)/х0 => (а – 1)(х – 10/(а – 1))/х0. Пусть а – 1>0. Тогда последнее неравенство пишется в виде ( х – 10/(а – 1))/х0. Его решением является объединение множеств (-; 0)U[10/(а – 1); +], которое не содержит наименьшего отрицательного числа. Следовательно, а – 1

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА При решении неравенств вида Log a f(x)>Log a g(x) следует помнить, что логарифмическая функция y=Log a x возрастает при a>1 и убывает при 0 1, от исходного неравенства следует переходить к неравенству того же смысла f(x)>g(x). В случае же когда 0 Log a g(x) следует помнить, что логарифмическая функция y=Log a x возрастает при a>1 и убывает при 0 1, от исходного неравенства следует переходить к неравенству того же смысла f(x)>g(x). В случае же когда 0

ПРИМЕРЫ ПРИМЕР. Решить неравенство Log1/3 (2x+59)>-2. ПРИМЕР. Решить неравенство Log1/3 (2x+59)>-2. РЕШЕНИЕ. Так как -2=Log1/3 9, то данное неравенство можно переписать в виде Log1/3 (2x+59)>Log1/3 9. РЕШЕНИЕ. Так как -2=Log1/3 9, то данное неравенство можно переписать в виде Log1/3 (2x+59)>Log1/3 9. Далее имеем: Далее имеем: 2x+59>0, x>-29,5, 2x+59>0, x>-29,5, 2x+59

НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Рассмотрим неравенство f(x;y)>g(x;y). Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство. Рассмотрим неравенство f(x;y)>g(x;y). Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство.

ПРИМЕРЫ ПРИМЕР. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства x+y-1>0. y>-x+1 ;

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ ТРИ МЕТОДА ДОКАЗАТЕЛЬСТВ НЕРАВЕНСТВ : 1) Метод оценки знака разности ; 2) Синтетический метод ; 3) Метод от противного.