Тема 1. «Матрицы и действия над ними» Основные понятия: 1.Определение матрицыматрицы 2.Виды матрицВиды 3.Действия над матрицамиДействия 4.Перестановочные матрицыПерестановочные завершить

1. Определение матрицы Прямоугольная таблица чисел вида называется матрицей. - элементы матрицы. Размер матрицы Главная диагональ матрицы Побочная диагональ матрицы назад

2. Виды матриц Прямоугольная Квадратная Нулевая Единичная Диагональная Симметричная Вырожденная Равные Треугольная Квазитреугольная (ступенчатая или трапециевидная)Квазитреугольная Матрица-строка или строчная матрицастрочная Матрица-столбец или столбцевая матрицстолбцевая назад

Матрица называется прямоугольной, если количество ее строк не совпадает с количеством столбцов: Матрица называется квадратной, если количество ее строк совпадает с количеством столбцов: назад

Матрица называется нулевой, если все ее элементы нулевые : Квадратная матрица называется единичной, если элементы по главной диагонали единицы, а остальные элементы нулевые : назад

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы по главной диагонали отличны от нуля, а остальные элементы нулевые: Квадратная матрица называется симметричной, если относительно главной диагонали для всех ее элементов выполняется условие : назад

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. определитель Матрицы А и В (одинаковых размерностей) называются равными, если : назад

Квадратные матрицы вида или называются треугольными. назад

Прямоугольная матрица вида называется квазитреугольной (ступенчатая или трапециевидная) назад

Матрица, состоящая из одной строки называется матрицей- строкой или строчной матрицей. Матрица, состоящая из одного столбца называется матрицей-столбцом или столбцевой матрицей назад

Операции над матрицами Линейные: 1)Сумма (разность) матриц;Сумма 2)Произведение матрицы на число.Произведение Нелинейные: 1) Транспонирование матрицы;Транспонирование 2) Умножение матриц;Умножение 3) Нахождение обратной матрицы. назад

Суммой (разностью) двух матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц слагаемых. Например: Пример назад

Пример Ответ назад

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число. Например: Пример назад

Линейные операции обладают следующими свойствами:

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной относительно данной. Например: Свойства назад

Умножение матриц определяется для согласованных матриц.согласованных Произведением матрицы на матрицу называется матрица, для которой, т.е. каждый элемент матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. Например Свойства назад

Например: Пример назад

В случае, когда АВ=ВА, матрицы А и В называют перестановочными или коммутативными. ПримерПример 1. Найти все перестановочные матрицы к матрице ПримерПример 2. Найти все перестановочные матрицы к матрице назад

Ответ: назад

Пример Ответ назад

Ответ: назад

Свойства операции транспонирования: назад

Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В: Например: назад

Пример Ответ назад

Ответ: назад

Свойства операции умножение матриц: 1. Свойство сочетательности или ассоциативности 2. 3.Свойство распределительности (дистрибутивности) справа и слева относительно сложения матриц назад

Решение (Пример 1): 1) общий вид всех перестановочных матриц 2) Применим определение перестановочных матриц AB=BA:

Получаем: 3) По определению равных матриц 4) Общий вид всех перестановочных матриц 5) Проверка назад

Ответ: или назад

Спасибо за внимание! Не забывайте готовиться к лекциям и семинарам! (Тема следующей лекции «Определители») Удачи!