В науке о числах… надо ожидать весьма В науке о числах… надо ожидать весьма многого от наблюдений, ибо они постоянно многого от наблюдений, ибо они постоянно приводят нас к новым свойствам, над приводят нас к новым свойствам, над доказательством которых приходится доказательством которых приходится работать. работать. Л. Эйлер Л. Эйлер Тема учебного проекта: «Числовая последовательность» ( 9 класс) Автор проекта: ученица 9 б класса МОУ «Никифоровская СОШ 1» «Никифоровская СОШ 1» Тамбовской области Тамбовской области Миронова Оксана Миронова Оксана Руководитель проекта: учитель математики Руководитель проекта: учитель математики Муравьева Инна Николаевна Муравьева Инна Николаевна ©Миронова О, 2008 ©Миронова О, 2008

Установив закономерность ряда Фибоначчи, исследовать его интересные свойства. Задачи исследования. Рассмотреть рекуррентную формулу ряда Фибоначчи. Рассмотреть рекуррентную формулу ряда Фибоначчи. Найти связь с « золотым сечением ». Найти связь с « золотым сечением ». Экспериментально убедиться в существовании чисел Фибоначчи в природе, истории человечества. Экспериментально убедиться в существовании чисел Фибоначчи в природе, истории человечества. Научиться пользоваться PowerPoint для оформления результатов. Научиться пользоваться PowerPoint для оформления результатов. Учебные предметы : математика, биология, история. ©Миронова О, 2008

Если такая закономерность чисел существует, то она должна проявляться в законах природы и хронологии истории. ©Миронова О, 2008

В одной из математических книг я встретила задачу итальянского математика Леонардо Фибоначчи. В одной из математических книг я встретила задачу итальянского математика Леонардо Фибоначчи. Некто посадил пару кроликов в загон, окружённый со Некто посадил пару кроликов в загон, окружённый со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару ? кроликов производит на свет одну пару ? ©Миронова О, 2008 Фибоначчи (ок )

Решением задачи является ряд чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,327,… Он известен как ряд Фибоначчи, а сами числа - числа Фибоначчи. Он известен как ряд Фибоначчи, а сами числа - числа Фибоначчи. Рекуррентная формула для членов ряда Фибоначчи ( каждый последующий член ряда равен сумме двух предыдущих ). Рекуррентная формула для членов ряда Фибоначчи ( каждый последующий член ряда равен сумме двух предыдущих ). ©Миронова О,

Я открыла интересное свойство ряда. Отношение последующего члена к предыдущему приближается к числу, равному 1,618, известному как « золотое сечение ». Отношение последующего члена к предыдущему приближается к числу, равному 1,618, известному как « золотое сечение ». Во времена Пифагора и эпоху Возрождения именно эта пропорция Во времена Пифагора и эпоху Возрождения именно эта пропорция являлась критерием гармонии и красоты. являлась критерием гармонии и красоты.2:1=23:2=1,5 5:31,666… 8:5=1,613:8=1,625 21:131,615… 34:211,619…55:341, :551,618…144:891,618…233:1441,618…377:2331,618… ©Миронова О, 2008

Я рассмотрела семена на корзинках подсолнечников. Они образуют сложный рисунок пересекающихся спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. Подсчёты показали, что если в одну сторону закручено 13 спиралей, то в другую 21. В более крупных соцветиях подсолнечника число спиралей соответственно 21 и 34 или 34 и 55. Обратите внимание эти числа в ряду Фибоначчи стоят рядом. ©Миронова О, 2008

опыта опыта Соотношение расстояний между листьями. 1.3:5:9 2.2:3:5 3.3:3,5:4,3 4.2:3:5 5.2,3:3,1:4,9 6.3:3:4 7.2:3:5 8.2,9:3:4,8 9.2:3:5 104:4:8 11.2:3:5 12.2,3:3:5 13.2,1:3:4,9 14.2:3:5 15.3:5:8 16.4:3:4 17.2:3:4,9 18.3:5:8 19.2:3:4,9 20.2,9:3,7:5 Исследования проводились на растениях : диффенбахия и фикус. Исследования проводились на растениях : диффенбахия и фикус. Оказалось, что расстояния между листьями неодинаковы. В 75% опытов они пропорциональны числам ряда Фибоначчи :1,2,3,5,8,13… Это явление в ботанике получило название « филлотаксиса » ( листорасположение ). Оказалось, что расстояния между листьями неодинаковы. В 75% опытов они пропорциональны числам ряда Фибоначчи :1,2,3,5,8,13… Это явление в ботанике получило название « филлотаксиса » ( листорасположение ). ©Миронова, 2008

На основании обмеров 20 человеческих рук я установила, что три фаланги среднего пальца кисти руки тоже подчиняются закономерности ряда Фибоначчи ( половина исследуемых рук имеют такую закономерность ). ©Миронова О, 2008

Исследуя хронологию развития человечества с древних времён до начала современной эпохи, я увидела возможность использования ряда Фибоначчи в разработке периодизации. До нашей эры ( тыс. лет ) Австралопитеки ( начало орудийности) 1597 Древнейшая культура олдувай. 610 Формирование речи, трудовая традиция. 377 Выход человечества из биоценоза Оледенение в Европе. Возникновение греческого письма. 5 вПоявление абака, возникновение римских цифр. 3 вФароский маяк, «Начала» Евклида, библиотека и музей Александрии. 2 Поршневой насос, применение пергамента для письма( кожа животных). 1 в Юлианский календарь, водяное колесо. Соответствия периодов истории и чисел Фибоначчи проверены и подтверждены с достаточной степенью надёжности и точности (61% совпадений). 1 Железный век. 2 Бронзовый век Культура Ближнего Востока. ©Миронова О, 2008 (тыс.лет)

Полученные результаты исследований дают возможность утверждать, что в природе с достаточным постоянством повторяются числа Фибоначчи. Может быть, эти загадочные числа ведут нас к разгадке великой тайны - Тайны Жизни ? Эта загадка - тема моих будущих исследований. ©Миронова О, 2008

1. Воробьёв Н. Н. Числа Фибоначчи. - М.: Наука, Виленкин Н. Я. И др. Комбинаторика.- М. : ФИМА, МЦНМО, Васютинский Н. А. Золотая пропорция.- М., Молодая гвардия, Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия ( БЭКМ ), ©Миронова О, 2008