{функциональные ряды – степенные ряды – область сходимости – порядок нахождения интервала сходимости - пример – радиус интервала сходимости – примеры }

Функциональные ряды Выражение вида: Если в выражении (1) положим x = x 0, то получим некоторый числовой ряд: Пусть задана бесконечная последовательность функций, определенных в области D: называется функциональным рядом. (1) (2)

Функциональные ряды Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке x 0, если числовой ряд (2), получившийся из ряда (1) подстановкой x = x 0, является сходящимся рядом. При этом x 0 называется точкой сходимости ряда. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости данного ряда. Обозначим область сходимости ряда – D s. Как правило, область D s не совпадает с областью D, а является ее частью:

@ Найти область сходимости функционального ряда: Область определения функций ln n x : Данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем q = ln x Такой ряд сходится, если Поэтому: Область сходимости ряда - D s Решение Пример

Область определения сходимости функционального ряда Сумма функционального ряда (1) зависит от взятой точки области сходимости, следовательно сама является некоторой функцией от х : Область определения этой функции совпадает с областью сходимости ряда D s. Для функции f(x) имеет место разложение Ряд (1) сходится к функции f(x)

@ Пример Найти сумму ряда: Это геометрическая прогрессия со знаменателем q = x и первым членом b 1 = 1. Имеет место разложение: Решение

n-частичная сумма и остаток ряда Тогда: Как и в случае числовых рядов, для функционального ряда (1) можно составить последовательность частичных сумм : для любых x из области сходимости. - n -й остаток ряда. S 1 (x) S 2 (x) S n (x)r n (x) Таким образом: При

Степенные ряды Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, то есть так называемый степенной ряд. где а 0, а 1,а 2,…, а n : постоянные числа – коэффициенты степенного ряда. (1) Ряд (1) расположен по степеням x. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням (x - x 0 ), то есть ряд вида: (2) Ряд (2) легко приводится к ряду (1) подстановкой x - x 0 = z, поэтому при изучении степенных рядов мы ограничимся степенными рядами вида (1).

Сходимость степенных рядов Об области сходимости степенного ряда (1) можно судить, исходя из следующей теоремы Абеля: Любой степенной ряд вида (1) сходится в точке x = 0 : 1. Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении то он абсолютно сходится при всех значениях х, для которых выполняется условие: то он расходится при любом значении x при котором: 2. Если степенной ряд (1) расходится при некотором значении Теорема Абеля

Сходимость степенных рядов Из теоремы следует, что существует такая точка,что интервал: ряд сходится весь состоит из точек сходимости ряда, а при всех х вне этого интервала ряд расходится. ряд расходится Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив интервал сходимости можно записать в виде : (-R; R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.

Сходимость степенных рядов В частности, если ряд сходится лишь в одной точке x 0 = 0, то считаем R = 0. Если ряд сходится при всех действительных значениях х, то считаем На концах интервала сходимости, то есть при x = - R и при x = R сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно. Для нахождения радиуса сходимости составим ряд из модулей членов данного степенного ряда и применим к нему признак Даламбера. Допустим существует предел:

Сходимость степенных рядов По признаку Даламбера ряд сходится, если: Таким образом, для степенного ряда (1) радиус сходимости равен: Аналогично, пользуясь признаком Коши, можно установить, что

Сходимость степенных рядов Если, то можно убедиться, что ряд сходится на всей числовой оси, то есть. Интервал сходимости степенного ряда (2): находят из неравенства Если степенной ряд содержит не все степени х, то есть задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяя признаки Даламбера или Коши для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

@ Пример Найти область сходимости степенного ряда : Найдем радиус сходимости по формуле: Следовательно, ряд сходится при всех действительных значениях х. Решение