10 способов решения квадратного уравнения Программа курса по выбору Математика 9 класс 12 часов

Структура программы Пояснительная записка Пояснительная записка Тематическое планирование Тематическое планирование Информационное обеспечение Информационное обеспечение Приложение Приложение

Пояснительная записка Пояснительная записка Предлагаемый курс по математике рассчитан на учащихся 9 классов. Может быть применен в классах с любым уровнем подготовки. Продолжительность 12 часов. Предлагаемый курс по математике рассчитан на учащихся 9 классов. Может быть применен в классах с любым уровнем подготовки. Продолжительность 12 часов. Умением решать квадратные уравнения овладевают практически все выпускники средней школы.Но чаще всего учащиеся для нахождения корней уравнения применяют только один единственный способ: через применение формул для вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения. Но есть другие формулы и методы решения, применение которых позволяет более рациональнее и быстрее решать данные уравнения, что поможет учащимся успешнее овладевать программой профильной школы. Умением решать квадратные уравнения овладевают практически все выпускники средней школы.Но чаще всего учащиеся для нахождения корней уравнения применяют только один единственный способ: через применение формул для вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения. Но есть другие формулы и методы решения, применение которых позволяет более рациональнее и быстрее решать данные уравнения, что поможет учащимся успешнее овладевать программой профильной школы. Данный курс позволит расширить область математических знаний учащихся по теме за счет изучения новых методов, не входящих в школьный курс математики. Данный курс позволит расширить область математических знаний учащихся по теме за счет изучения новых методов, не входящих в школьный курс математики.

Цели курса: Знакомство с новыми методами решения квадратных уравнений Знакомство с новыми методами решения квадратных уравнений Углубление знаний по теме «Квадратные уравнения» Углубление знаний по теме «Квадратные уравнения» Развитие математических, интеллектуальных способностей, навыков исследовательской работы Развитие математических, интеллектуальных способностей, навыков исследовательской работы Создание условий для самореализации личности Создание условий для самореализации личности

Задачи курса: Познакомить учащихся с новыми способами решения квадратных уравнений Познакомить учащихся с новыми способами решения квадратных уравнений Закрепить умения решать уравнения известными способами Закрепить умения решать уравнения известными способами Ввести теоремы, позволяющие решать уравнения нестандартными способами Ввести теоремы, позволяющие решать уравнения нестандартными способами Продолжить формирование общеучебных навыков, математической культуры Продолжить формирование общеучебных навыков, математической культуры Содействовать формированию интереса к исследовательской деятельности Содействовать формированию интереса к исследовательской деятельности Создать условия для учащихся в реализации и развитии интереса к предмету математика Создать условия для учащихся в реализации и развитии интереса к предмету математика Подготовить учащихся к правильному выбору профильного направления Подготовить учащихся к правильному выбору профильного направления

Данный курс предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса и решение типовых задач. На уроках будет использоваться фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся класса, что позволяет развивать точную, лаконичную речь, способность работать в быстром темпе. Основные формы работы с учащимися: лекция с элементами беседы, практическая работа, самостоятельная работа, творческая поисковая работа. Программа мобильна, т.к.дает возможность уменьшить количество задач при успешном усвоении метода, а блочная подача позволит учащемуся, пропустившему урок, приступать к работе, не испытывая затруднений. Отличительной особенностью курса является знакомство с методами решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки и способом «номограмм». Данный курс предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса и решение типовых задач. На уроках будет использоваться фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся класса, что позволяет развивать точную, лаконичную речь, способность работать в быстром темпе. Основные формы работы с учащимися: лекция с элементами беседы, практическая работа, самостоятельная работа, творческая поисковая работа. Программа мобильна, т.к.дает возможность уменьшить количество задач при успешном усвоении метода, а блочная подача позволит учащемуся, пропустившему урок, приступать к работе, не испытывая затруднений. Отличительной особенностью курса является знакомство с методами решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки и способом «номограмм».

Минимальные требования к оснащению курса: раздаточный материал для проведения практических и самостоятельных работ. Для контроля достижений используются наблюдение активности учащихся на уроке, тестирование. В результате изучения курса учащиеся В результате изучения курса учащиеся должны знать: должны знать: теоремы о свойствах коэффициентов квадратного уравнения теоремы о свойствах коэффициентов квадратного уравнения 10 различных способов решения уравнений 10 различных способов решения уравнений различные формулы для решения уравнения различные формулы для решения уравнения должны уметь: должны уметь: Уверенно применять формулы, способы, теоремы для решения квадратных уравнений Уверенно применять формулы, способы, теоремы для решения квадратных уравнений понимать лексику, связанную с предметом понимать лексику, связанную с предметом строить, читать, понимать графики строить, читать, понимать графики при вычислении применять устные и письменные приемы при вычислении применять устные и письменные приемы пользоваться современными техническими средствами обучения пользоваться современными техническими средствами обучения

Учебно-тематический план п/п п/п Наименование темы Кол-во часов 1Введение1час 2 Решение квадратных уравнений 10 часов 3 Зачетный урок 1 час

Содержание программы Тема 1. Введение. 1 час. Тема 1. Введение. 1 час. Определение кв.уравнения. Полные и неполные кв. уравнения. Методы их решения. Анкетирование. Определение кв.уравнения. Полные и неполные кв. уравнения. Методы их решения. Анкетирование. Тема 2. Решение кв. уравнений. 10 часов. Тема 2. Решение кв. уравнений. 10 часов. Метод разложения на множители 1 ч. Метод разложения на множители 1 ч. Метод выделения полного квадрата 1 ч. Метод выделения полного квадрата 1 ч. Решение кв. уравнений по формулам 1 ч. Решение кв. уравнений по формулам 1 ч. Решение кв. уравнений с помощью т.Виета 1 ч. Решение кв. уравнений с помощью т.Виета 1 ч. Решение кв. уравнений способом переброски 1ч. Решение кв. уравнений способом переброски 1ч. Решение кв. уравнений с использованием коэффициентом 1ч. Решение кв. уравнений с использованием коэффициентом 1ч. Решение кв. уравнений графическим способом 1 ч. Решение кв. уравнений графическим способом 1 ч. Решение кв. уравнений с помощью циркуля и линейки 1ч. Решение кв. уравнений с помощью циркуля и линейки 1ч. Решение кв. уравнений с помощью «номограмм» 1ч. Решение кв. уравнений с помощью «номограмм» 1ч. Решение кв. уравнений геометрическим способом 1ч. Решение кв. уравнений геометрическим способом 1ч. Тема 3. Зачетный урок 1ч. Тема 3. Зачетный урок 1ч.

Литература Литература Для учителя : Плужников И.10 способов решения квадратных уравнений//Математика в школе Метельникова Т.П.Устное решение квадратных уравнений// Математика в школе Математика в школе , , 24; , 21. Пресман А.А.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.-М.Квант.4/72 Для учащихся: Алгебра 8 класс:ВиленкинН.Я. и др.Учебное пособие для классов с углубленным изучением математики Алгебра 8 класс:Макарычев Ю.Н. и др.Учебник для общеобразовательных учреждений Четырехзначные таблицы для средней школы: БрадисВ.М. с 83

Разложение на множители левой части уравнения Решим уравнение х х - 24=0. Разложим на множители левую часть: х х - 24= х х - 2х - 24= х(х + 12) - 2(х + 12)= (х + 12)(х - 2). Решим уравнение х х - 24=0. Разложим на множители левую часть: х х - 24= х х - 2х - 24= х(х + 12) - 2(х + 12)= (х + 12)(х - 2). (х + 12)(х - 2)=0 (х + 12)(х - 2)=0 х + 12=0 или х - 2=0 х + 12=0 или х - 2=0 х= -12 х= 2 х= -12 х= 2 Ответ: х 1 = -12, х 2 = 2. Ответ: х 1 = -12, х 2 = 2. Решить уравнения: х 2 - х=0 Решить уравнения: х 2 - х=0 х 2 + 2х=0 х 2 + 2х=0 х =0 х =0 х 2 + 4х + 3=0 х 2 + 4х + 3=0 х 2 + 2х - 3=0 х 2 + 2х - 3=0

Метод выделения полного квадрата Решим уравнение х 2 + 6х - 7=0 Решим уравнение х 2 + 6х - 7=0 х 2 + 6х - 7=х 2 + 2х =(х-3) = (х-3) х 2 + 6х - 7=х 2 + 2х =(х-3) = (х-3) (х-3) 2 -16=0 (х-3) 2 -16=0 (х-3) 2 =16 (х-3) 2 =16 х-3=4 или х-3=-4 х-3=4 или х-3=-4 х=1 х=-7 х=1 х=-7 Ответ: х 1 =1, х 2 = -7. Ответ: х 1 =1, х 2 = -7. Решить уравнения: х 2 - 8х+15=0 Решить уравнения: х 2 - 8х+15=0 х 2 +12х +20=0 х 2 +12х +20=0 х 2 + 4х + 3=0 х 2 + 4х + 3=0 х 2 + 2х - 2=0 х 2 + 2х - 2=0 х 2 - 6х + 8=0 х 2 - 6х + 8=0

Решение квадратных уравнений по формуле Основные формулы: Если b - нечетное, то D= b 2 -4ac и х 1, 2 =, (если D>0) Если b- -четное, то D 1 = и х 1,2 =, (если D>0) Решите уравнения: 2х 2 - 5х + 2=0 6х 2 + 5х +1=0 6х 2 + 5х +1=0 4х 2 - 5х + 2=0 4х 2 - 5х + 2=0 2х 2 - 6х + 4=0 2х 2 - 6х + 4=0 х х +17=0 х х +17=0 =

Решение уравнений способом переброски Решим уравнение ах 2 +bх+с=0. Умножим обе части уравнения на а, получим а 2 х 2 +аbх+ас=0. Пусть ах =у, откуда х = у/а. Тогда У 2 +bу+ас=0. Его корни у 1 и у 2. Окончательно х 1 = у 1 /а, х 1 = у 2 /а. Решим уравнение ах 2 +bх+с=0. Умножим обе части уравнения на а, получим а 2 х 2 +аbх+ас=0. Пусть ах =у, откуда х = у/а. Тогда У 2 +bу+ас=0. Его корни у 1 и у 2. Окончательно х 1 = у 1 /а, х 1 = у 2 /а. Решим уравнение 2х 2 -11х + 15=0. Решим уравнение 2х 2 -11х + 15=0. Перебросим коэффициент 2 к свободному члену: Перебросим коэффициент 2 к свободному члену: У 2 -11у+30=0. У 2 -11у+30=0. Согласно теореме Виета у 1 =5 и у 2 =6. Согласно теореме Виета у 1 =5 и у 2 =6. х 1 =5/2 и х 2 =6/2 х 1 =5/2 и х 2 =6/2 х 1 =2,5 и х 2 =3 х 1 =2,5 и х 2 =3 Ответ: х 1 =2,5, х 2 =3 Ответ: х 1 =2,5, х 2 =3 Решить уравнение: 2х 2 -9х +9=0 Решить уравнение: 2х 2 -9х +9=0 10х 2 -11х + 3=0 10х 2 -11х + 3=0 3х 2 +11х +6=0 3х 2 +11х +6=0 6х 2 +5х - 6=0 6х 2 +5х - 6=0 3х 2 +1х - 4=0 3х 2 +1х - 4=0

Решение уравнений с помощью теоремы Виета Решим уравнение х 2 +10х-24=0. Так как х 1 *х 2 =-24 х 1 +х 2 = -10, то 24= 2*12, но -10=-12+2, значит х 1 +х 2 = -10, то 24= 2*12, но -10=-12+2, значит х 1 =-12 х 2 =2 х 1 =-12 х 2 =2 Ответ: х 1 =2, х 2 =-12. Решить уравнения: х 2 - 7х - 30 =0 х 2 +2х - 15=0 х 2 +2х - 15=0 х 2 - 7х + 6=0 х 2 - 7х + 6=0 3х 2 - 5х + 2=0 3х 2 - 5х + 2=0 5х 2 + 4х - 9=0 5х 2 + 4х - 9=0

Свойства коэффициентов квадратного уравнения Если a+b+c=0, то х 2 = 1, х 2 = с/а Если a – b + c=0, то х 2 =-1, х 2 = -с/а Решим уравнение х 2 + 6х - 7= 0 Решим уравнение 2х 2 + 3х +1= – 7 =0, значит х 1 =1, х 2 = -7/1= =0, значит х 1 = - 1, х 2 = -1/2 Ответ: х 1 =1, х 2 =-7. Ответ: х 1 =-1, х 2 =-1/2. Решить уравнения: 5х 2 - 7х +2 =0 Решить уравнения: 5х 2 - 7х -12 =0 11х 2 +25х - 36=0 11х 2 +25х +14=0 11х 2 +25х - 36=0 11х 2 +25х +14=0 345х х -208=0 3х 2 +5х +2=0 345х х -208=0 3х 2 +5х +2=0 3х 2 +5х - 8=0 5х 2 + 4х - 1=0 3х 2 +5х - 8=0 5х 2 + 4х - 1=0 5х 2 + 4х - 9=0 х 2 + 4х +3=0 5х 2 + 4х - 9=0 х 2 + 4х +3=0

Графическое решение квадратного уравнения Решим уравнение х 2 +2х - 3=0 Решим уравнение х 2 +2х - 3=0 Записать уравнение в виде х 2 =3-2х В одной системе координат построить график функции у =х 2, построить график функции у =3-2х. Обозначить абсциссы точек пересечения. Ответ: х 1 =1, х 2 =-3. Решить уравнение: х 2 -х - 6=0 Решить уравнение: х 2 -х - 6=0 х 2 - 4х + 4=0 х 2 - 4х + 4=0 х 2 +4х +6=0 х 2 +4х +6=0 х 2 -2х - 3=0 х 2 -2х - 3=0 х 2 +2х - 3=0 х 2 +2х - 3=0

Решение уравнений с помощью циркуля и линейки Решим уравнение aх 2 +bх+c=0: Построим точки S(-b:2a,(a+c):2a)- центр окружности и точку А(0,1) Построим точки S(-b:2a,(a+c):2a)- центр окружности и точку А(0,1) Провести окружность радиуса SA Провести окружность радиуса SA Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения

Геометрический способ решения уравнения Решим уравнение У 2 - 6у - 16=0 Решим уравнение У 2 - 6у - 16=0 Представим в виде У 2 - 6у = 16. На рис. «изображено» выражение У 2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у дважды вычитается площадь квадрата со стороной 3. Значит У 2 –6у+9 есть площадь квадрата со стороной у-3. Выполнив замену У 2 - 6у = 16, получим (у-3) 2 =16+9 у-3=5 или у-3=-5 у 1 =8 у 2 =-2 Решить уравнение У 2 +6у - 16=0 Ответ: у 1 =8, у 2 =-2

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы