Готовимся к ЕГЭ, формат г. Анжеро-Судженск Кемеровская область 2010 Открытый банк заданий по математике mathege.ru

Производная - задания В8 Готовимся к ЕГЭ * по графику функции * по графику производной о производной и касательной о свойствах функции и касательной В8. Тематика задач: * значение производной в точке по графику функции и касательной * у = k х + в - касательная f (x ) = k. Как найти наибольшее наименьшее значение функциина отрезке [a;b] точку максимума минимума функции экстремум 2

Функция убывает. -7 ° 8 у = 0 3. Нули функции – пересечения графика с ОХ, у = 0. 1) – График функции y = f(x) 1. Область определения функции (ООФ) – это значения Х. [ ) 2. Множество значений функции (МЗФ) – это значения У. скобки [ ) 4. Монотонность: а) промежутки возрастания б) промежутки убывания большему Х большее У; большему Х меньшее У. 5. Знакопостоянство: а) ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ значения функции, где график СТРОГО выше ОХ. а) ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ значения функции, где график СТРОГО ниже ОХ. Читаем свойства по графику 2) – А, если - это график f (x) По графику f (x) > 0 Функция возрастает. По графику f (x) < 0 1. [-7;8). 2. [-3;4) ;2;5. 4a. [-7;-6]; [-4;0];[4;8). 4в. [-6;-4]; [0;4]. 5a. (-3;2)u (5;8). 5в. [-7;-3)u (2;5). [-7;-3];[2;5) О Т В Е Т Ы Записать по ходу Проверить после анимации Появление графика многое подскажет – СЛЕДИТЕ ! 3 ° ° [-3;2];[5;8) !

f 1 (x)=0 f 1 (x 2 )=0 f 1 (x 3 ) не существует y = f(x) возрастает убывает возрастает убывает f 1 (x) Х Х Х ? y=f '(x) На рисунке изображён график производной y = f¹(x). 1. Найдите число промежутков, на которых функция y = f(x) убывает. 2. Укажите длину наибольшего промежутка убывания. 3. Укажите число промежутков, на которых функция y = f(x) возрастает. 4. Найдите длину наибольшего промежутка возрастания функции y = f(x). функция Устно: 4 2; 5; 3; 2 ключ Y = f(x) max min Образец работы Обобщение от f(x) к f(x) по ГРАФИКУ

План действий с каждой задачей Левой клавишей мыши: «Показ слайдов», «С текущего слайда» 1.Решайте сначала задание самостоятельно ! 2. Левой клавишей мыши * кликнуть ОТВЕТ. 3. Левой клавишей мыши * кликнуть ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ: - на что опираемся в поиске ответа, - анимация решения на рисунке 4. Левой клавишей мыши * УБИРАЕТСЯ РЕШЕНИЕ * кликнуть следующую задачу. (в заключение ещё раз читайте задачу и пояснение) 5

Целые точки f(x) < 0 - промежутки, на которых f(x) убывает ! большему Х меньшее У. решение 3. Определите сумму целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна. 3. Определите сумму целых точек, Целые точки 1. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = Найдите количество точек, На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-5;8). В 8. Повторяем. Учимся. Закрепляем. Тренируемся. y = f(x) y= k x + b – касательные, f(x) = 0 в точках максимума и минимума ! 2. Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) положительна. 3 f(x) > 0 там, где f(x) возрастает ! ı ı ο ο большему Х большее У; т. е. k = 0, f(x) = 0 !!! сравнив, у = 0х - 16 По графику функции параллельны ОХ 8 2. Определите количество целых точек, в которых решение

Найдите количество точек, в которых производная функции y=f(x) равна На рисунке изображен график функции y=f(x), определённой на интервале (-10;3). Производная f(x) = 0 вершины графика функции Сколько точек ? решение Найдите сумму точек экстремума функции Точки экстремума 4. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-4;7). y = f(x) - 4 ı В 8. Повторяем. Учимся. Закрепляем. Тренируемся. По графику функции вершины графика функции f= 0 решение х у y=f(x) ° ° ¯ '' Монотонность функции по графику Знак f(x) Знак f(x) меняется в вершинах графика функции ОБРАЗЕЦ обоснования – как обобщение на 5

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-1;21). 1.Найдите количество точек экстремума функции на отрезке [3;17]. 3.Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. ο 2.В какой точке отрезка [9;16] функция y=f(x) принимает наибольшее значение? ' y = f(x), ο ' ¯ 1 0 ' Экстремум 3 По графику производной В 8. Повторяем. Учимся. Закрепляем. Тренируемся. f(x) = 0 точки пересечения графика y=f(x) с ОХ Сколько ? решение 16 Отрезок [9;16] График y=f(x) ниже оси ОХ f(x) 0 функция y=f(x) убывает Х = 9 9 решение 4 9 График y=f(x) выше оси ОХ 4 Функция возрастает большему Х большее У; f(x) 0 решение продолжение 8

ο 4. Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [0;20]. 2 Монотонность у = f(x) f(x) – с убывания на возрастание 5. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 156 f(x) 0 Промежутки, где у = f(x) - убывает Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x + 17 или совпадает с ней. 6 f(x) - угловой коэффициент касательной. У параллельных прямых - К f(x) = 2 В 8. Повторяем. Учимся. Закрепляем. Тренируемся. 9 ο 21 По графику производной На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-1;21). 0 Отрезок [0;20] Сколько ? f(x) - меняет знак с «-» на «+» ! решение y = f(x), График f(x) ниже оси ОХ решение f(x) = - К равны !!! 2 Прямая у = f(x) = 2 решение

А можно и так! На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х. Найдите значение производной функции в точке х. х ı ı Прямые, параллельные: оси ОХ оси ОУ Угол α π- α : 8 = 0,25 - 0,25 (точка уровнем ниже), (точка уровнем выше ). наклона касательной к положительному направлению с осью ОХ f΄(x) = tg α. tg(π - α) =- tg α 2) Уравнение касательной y = kx + b 1) Прямоугольный треугольник Координаты точек (6; 3) (-2; 5) подставить в уравнение система: 3 = 6 k6 k + b 5 = -2 k + b -2 = 8 k k = - 0,25 10 Предупреждение! Если на касательной точки не выделены,сделайте это сами – пересечение линий клетокна касательной (вдруг встретится такое задание). Предупреждение !

На рисунке изображены график функции у= f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой х. Найдите значение производной функции у=f(x) в точке х. у = k x + b - касательная - f(x) = k k - угловой коэффициент - тангенс угла наклона прямой к положительному оси ОХ !!! Производная функции в точке касания !!! Ответ - производная! В8. График функция – касательная - производная = - tg αtg (π – α) α Y=f(x) На рисунке график y=f(x). Прямая, проходящая через точку (-1;1), касается графика в точке с абсциссой 3. Найдите f ̒ (3). На рисунке график y =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х. Найдите f ̒ (х) в точке х. Y=f(x) х 11 0,25 -1,25 -0,5 - 1 Задание 4 α Задание 3 Алгоритм поиска ответа. Но сначала сами ! π - α Точки на прямой Прямоугольный треугольник Угол Длины катетов по клеткам Определение тангенса угла Задание 1 Текст внизу Сначала сами решите. Ответ запишите. Проверьте - алгоритмом поиска ответа. Задание 2 Алгоритм поиска ответа, непрерывная анимация без пояснений. Но сначала сами решите! (текст вверху)

o o Производная, функция, касательная - понятийный аппарат В 8 и В 11 *График функции и её свойства - выход на производную и касательную *График производной функции - выход на свойства функции *Уравнение прямой, её угловой коэффициент и угол наклона к положительному направлению оси ОХ - График функции Касательная Угол наклона, tg α Знак производной Монотонность Экстремумы далее работаем по карточкам: решаем сами, ответы по ключу. (консультации) Точка касания 12 1 группа 2 группа 3 группа Обобщение соответствия понятий - по графику - знак тангенса угла – знак производной – монотонность функции, экстремумы. Угол острыйтупой Равен 0 ++ – –

+ Промежутки + – + возрастает ++ монотонности – – – убывает функция ° ° знак y = f(x) экстремумэкстремум y = f(x) /////////////////// ///////////////////////////////////// ///////////// ///////////////////////// f(x) > 0 f(x) < 0 ° ° Возможный график y = f(x) Возможный график y = f(x) Промежутки знакопостоянства ///////// //////// //////////// //// //////// ///////////// ///////////// //// //////////////// Экстремумы f(x) = 0 или ǿ (меняет знак!) 1313 Знак y = f(x) + + – –– – О «тождественности» понятий Промежутки монотонности ° ° f=0 или Ǿ (меняет знак!)

Используемая литература: 1. Открытый банк задач ЕГЭ по математике – адрес на титульном слайде. 2. Картинка слайда 1 – «Пишущий карандаш» Открытый банк задач ЕГЭ по математике.