ТЕОРИЯ РЯДОВ

4. РЯДЫ ФУРЬЕ

Жан Батист Жозеф Фурье ( ) фр. математик и физик (Jean Baptiste Joseph Fourier) Свои методы (ряды и интегралы Фурье) он использовал в теории распространения тепла. Но вскоре они стали исключительно мощным инструментом математического исследования самых разных задач особенно там, где есть волны и колебания. А этот круг чрезвычайно широк астрономия, акустика, теория приливов, радиотехника, электротехника и др.

4.1. Гармонические колебания. 1. Простые гармонические колебания В естествознании и технике часто наблюдаются периодические процессы, т.е. такие явления, которые повторяются через определенный промежуток времени. Например, колебания маятника, явления переменного тока и др.

Простейшее периодическое явление- гармоническое колебание, совершаемое по закону А- амплитуда колебания - фаза колебания - частота колебания - начальная фаза - период колебания (время, в течение которого происходит одно колебательное движение) - число колебаний за время 2π

Преобразуем равенство: Т.е. Колебательное движение, происходящее по закону или, что то же, по закону называется простым гармоническим колебанием, а график его- простой гармоникой.

2. Сложные гармонические колебания Не всякий периодический процесс можно рассматривать как простое гармоническое колебание. Очень часты случаи, когда периодическое явление есть результат сложения нескольких простых гармонических колебаний. Полученное результирующее движение называется сложным гармоническим колебанием, а график его- сложной гармоникой. Сложная гармоника есть результат сложения нескольких простых гармоник или иначе- результат наложения простых гармоник друг на друга.

Пример 1 Даны две простые гармоники: Сложная гармоника: Любая точка сложной гармоники имеет ординату, равную сумме ординат точек, лежащих на простых гармониках и имеющих одну и ту же абсциссу.

0 t y При сложении простых гармоник с разными частотами получается сложная гармоника не синусоидального вида; при сложении гармоник с одинаковыми частотами- гармоника того же вида, что и простая.

4.2. Тригонометрические ряды. С помощью так называемого тригонометрического ряда любую (практически) периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники. Положим для простоты

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида - коэффициенты ряда

Пусть f(x)- произвольная периодическая функция с периодом 2π. Предположим, что функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд, т.е. f(x) является суммой ряда: Так как функция f(x) (и сумма ряда) имеет период 2π, то её можно рассматривать в любом промежутке длины 2π. В качестве основного промежутка возьмем отрезок [-π;π]. (также удобно взять отрезок [0;2π] ). Предположим, что этот ряд абсолютно сходится, то его можно почленно интегрировать. Найдем коэффициенты тригонометрического ряда:

4.3. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье. Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части.

Следовательно:

Для вычисления остальных коэффициентов ряда нам понадобятся некоторые определенные интегралы: Если n и k – целые числа, то имеют место следующие равенства: если n k, тоесли n = k, то

Найдем a n. Умножим обе части тригонометрического ряда на cosnx: Проинтегрируем в пределах от –π до π:

Тогда получаем: Откуда

Найдем b n. Умножим обе части тригонометрического ряда на sinnx: Проинтегрируем в пределах от –π до π:

Тогда получаем: Откуда

Ряд где называется рядом Фурье функции f(x) коэффициенты Фурье

Иногда более удобны интегралы с пределами интегрирования от 0 до 2π: коэффициенты Фурье

4.4. Разложение в ряд Фурье 2π- периодических функций Сформулируем теорему, которая дает достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье (чтобы ряд Фурье функции f(x) сходился и сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках)

Теорема Дирихле. Пусть 2π- периодическая функция f(x) на отрезке [-π;π] удовлетворяет двум условиям: 1. f(x) кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода; 2. f(x) кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна. Тогда соответствующий функции f(x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

Теорема Дирихле (продолжение) 1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией: S(x)=f(x); 2. В каждой точке х 0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева: 3. На концах отрезка х=-π и х=π сумма ряда равна

Пример 1 Разложить в ряд Фурье функцию f(x) периода 2π, заданную на отрезке [-π;π] формулой 0 π-2π-π-π 3π3π 2π2π π 2π2π

Решение Найдем коэффициенты Фурье:

0 0

Итак:

0 0

Тогда

Ответ. Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. В точках х= π

0 π-2π-π-π 3π3π 2π2π π 2π2π Сумма S(x) ряда на концах отрезка х= π

Пример 2 Разложить в ряд Фурье функцию f(x) периода 2π, заданную на отрезке [-π;π] формулой 1 0 π -2π-π-π3π3π2π2π

Решение Найдем коэффициенты Фурье:

Итак:

Тогда

π -π-π 2π2π -π-π 2π2ππ

Чем больше простых гармоник сложим, тем точнее результирующая гармоника будет представлять функцию f(x).

Ответ. Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому её пределов справа и слева, т.е. нулю.

Пример 3 Разложить в ряд Фурье функцию f(x) периода 2π, заданную на отрезке [-π;π] формулой 0 2π2ππ-4π-3π-2π-π-π-5π3π3π4π4π5π5π

Решение Найдем коэффициенты Фурье:

Итак:

Тогда

Ответ. Так как функция кусочно -монотонна, непрерывна, то это равенство выполняется во всех точках.