МОУ лицей 1 г. Комсомольск –на - Амуре Учитель математики: О.С. Чупрова 2007 г.

1.Уравнения, решаемые по определению log a b=c, a c =b, a>0, a1, b>0 a c =b, a>0, a1, b>0 log a b=c, a c =b, a>0, a1, b>0 a c =b, a>0, a1, b>0

Пример: log3(2-x)=2 ОДЗ: 2-x>0 2-x=3 2 x

2.Уравнения, решаемые с использованием основных свойств log a (bc) =log a b +log a c log a (b/c)=log a b - log a c log a b p =plog a b log a (bc) =log a b +log a c log a (b/c)=log a b - log a c log a b p =plog a b

Пример: log 2 (x+1)+log 2 (x+2)=1 ОДЗ: x+1>0 x>-1 log 2 (x+1)(x+2)=1 x+2>0 x>-2 (x+1)(x+2)=2 1 х>-1 x 2 +3x=0 x(x+3)=0 x 1 =0 x 2 =-3(не уд. ОДЗ) Ответ: x=0

3.Метод потенцирования f(x)>0 log a f(x)=log a g(x) g(x)>0 f(x)=g(x) f(x)>0 log a f(x)=log a g(x) g(x)>0 f(x)=g(x)

Пример: lg(x-4)+lg(x-6)=lg8 ОДЗ: x-4>0 x>4 x>6 lg(x-4)(x-6)=lg8 x-6>0 x>6 (x-4)(x-6)=8 x 2 -10x+16=0 x 1 =8 x 2 =2 (не уд. ОДЗ) Ответ: x=8

4.Метод подстановки а)Уравнения, сводящиеся к квадратным Пример1: lg 2 x-3lgx+2=0 ОДЗ: x>0 пусть lgx=t, tєR t 2 -3t+2=0 t 1 =1 t 2 =2 если t 1 =1, то если t 2 =2, то lgx=1 lgx=2 x=10 x=100 Ответ: x 1 =10, x 2 =100

Пример2: lg 2 (10x)=5-lgx ОДЗ: x>0 (lg10+lgx) 2 =5-lgx 1+2lgx+lg 2 x-5+lgx=0 lg 2 x+3lgx-4=0 пусть lgx=t t 2 +3t-4=0 t 1 =1; t 2 = - 4 если t 1 =1, то если t 2 = - 4,то lgx=1 lgx=-4 x=10 x=0,0001 Ответ: x 1 =10, x 2 =0,0001

б)Использование формулы log a b= 1 /log b a

Пример: log x (9x 2 )log 2 3 x=4 ОДЗ: x>0 (log x 9+log x x 2 )log 2 3 x=4 x1 (2log x 3+2)log 2 3 x=4 (2/log 3 x+2)log 2 3 x=4 пусть log 3 x=t (2/t+2)t 2 =4 2t 2 +2t-4=0 t 1 =1; t 2 =-2 если t 1 =1, то если t 2 =-2, то log 3 x=1; x 1 =3; log 3 x=-2. x 2 =1/9. Ответ: x 1 =3, x 2 =1/9

5.Метод приведения к одному основанию log a b=log с b/log c a a>0,b>0, c>0 a1, c1 log a b=log с b/log c a a>0,b>0, c>0 a1, c1

Пример: log 2 x+log 4 x+log 8 x=11 ОДЗ:x>0 log 2 x+log 2 2 x+log 2 3 x=11 log 2 x+1/2log 2 x+1/3log 2 x=11 11/6log 2 x=11 log 2 x=6 x=2 6 x=64 Ответ: x=64

6.Метод логарифмирования log a b р =рlog a b b>0; a>0; a1 log a b р =рlog a b b>0; a>0; a1

Пример: x (lgx+5)/3 =10 5+lgx ОДЗ:x>0 прологарифмируем уравнение по основанию 10 lgx (lgx+5)/3 =lg10 5+lgx ((lgx+5)/3)lgx=(5+lgx)lg10 1/3(lgx+5)lgx=5+lgx|*3 (lgx+5)lgx=15+3lgx lg 2 x+5lgx=15+3lgx lg 2 x+2lgx-15=0 пусть lgx=t t 2 +2t-15=0 t 1 =-5; t 2 =3 если t 1 =-5, то lgx=-5 если t 2 =3, то lgx=3 x 1 =0,00001 x 2 =1000 Ответ: x 1 =0,00001, x 2 =1000

7.Использование специальной формулы a log с b = b log с a b>0;b1 a>0; a1; с>0; с1 a log с b = b log с a b>0;b1 a>0; a1; с>0; с1

Пример: 3x log log 5 x =64 ОДЗ: x>0 3*2 log 5 x +2 log 5 x =64 4*2 log 5 x =64 |:4 2 log 5 x =16 2 log 5 x =2 4 log 5 x=4 x=5 4 x=625 Ответ: x=625

8.Использование свойств монотонности функции Пример: log 3 (x+1)+log 4 (5x+6)=3 ОДЗ: x> -1,2 y= log 3 (x+1) - возрастающая функция y= log 4 (5x+6)- возрастающая функция 3 - const Сумма двух возрастающих функций равна возрастающей функции. Используем утверждение: если возр. функция равна const или убыв. функции, тогда уравнение имеет один корень, который находится с помощью метода подбора. Ответ: x=2

9.Использование свойств ограниченности функции Пример: log 2 (17-|sin0,5πx|)=2x+15-x 2 1)рассмотрим левую часть т.к. 0 |sin0,5πx| 1,то log 2 (17-|sin0,5πx|) log 2 (17-1)=log 2 16=4 т.е. 0 |sin0,5πx| 4 при x=1 - достигается равенство 2)рассмотрим правую часть 2x+15-x 2 = 16-(x+1) 16=4=16-(x-1) 22x+15-x 2 = 16-(x+1) 16=4=16-(x-1) 2 2x+15-x 242x+15-x 24 при x=1 – достигается равенство Ответ: x=1

10. Однородные уравнения II степени ax 2 +bxy+cy 2 =0|:y 20 a(x/y) 2 +b(x/y)+c=0 at 2 +bt+c=0 ax 2 +bxy+cy 2 =0|:y 20 a(x/y) 2 +b(x/y)+c=0 at 2 +bt+c=0

Пример: 3log 2 2 (x+1)-4log 2 (2x+1)log 2 (x+1)+log 2 2 (2x+1)=0 Делим на log 2 2 (2x+1) ОДЗ: x>1/2 3(log 2 (x+1)/log 2 (2x+1)) 2- 4log 2 (2x+1)log 2 (x+1)/log 2 2 (2x+1)+1=0 t 3t 2 -4t+1=0 t 1 =1 t 2 =1/3 если t 1 =1 то, если t 2 =1/3 то, log 2 (x+1)/log 2 (2x+1)=1 log 2 (x+1)/log 2 (2x+1)=1/3 log 2 (x+1)=log 2 (2x+1) 3log 2 (x+1)=log 2 (2x+1) x+1=2x+1 log 2 (x+1) 3 =2x+1 x=0 x(x 2 +3x+1)=0 x 1 =0 x 2 =(-3+5)/2 x 3 =(- 3-5)/2 x 1 =0 x 2 =(-3+5)/2 x 3 =(- 3-5)/2 Ответ: x 1 =0, x 2 = =(-3+5)/2 не уд.

11.Уравнения, содержащие неизвестное в основании и показателе степени Пример: xx=xx ОДЗ: x>0, logx xx =logx xx x x 1 logx xx0,5 =logx (x0,5)x xlogx x=0,5logxx x=0,5x x(1-0,5x)=0 x=0 (не уд.ОДЗ) (1-0,5x)=0 x=2 x=4 Ответ: x=4

12.Функционально - графический метод log 2 x (х – 1) = log 2 x Строим графики функций у = Строим графики функций у = (х – 1) и log 2 x. у = log 2 x. Ответ: х = 1, х= х у 0

Решить самостоятельно lq(х²-2х)=lg30-1; lg(x²+2x-3)=lg(6X-2); log 3 X*lоg 2 х =4 log 3 2; log 3 X+log 9 X+log 27 X=1/12; log 5 (X-l0)-log 5 (X+2)=-1; 3+ 2log X+1 3 =2log 3 (X+1).

Литература: Математика. Тренировочные тематические задания ЕГЭ повышенной сложности. Сост. Г.И. Ковалева и др. «Учитель». Волгоград Математика. ЕГЭ. Эффективная подготовка. Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. «Экзамен». Москва