1. Тригонометрический круг Значения диаметральных углов через в радианах и градусах Четверти. Определять четверть, в которой находится угол 2. Определение триг. функций 3. Значения триг. функций для диаметральных углов и табличных углов Для диаметральных углов определять значения по триг. кругу Для табличных углов запомнить ряды для синуса и тангенса 4. Знаки по четвертям 5. Множество значений функций 7. Четность, нечетность 6. Период Уметь находить множество значений функции, выражения Уметь приводить угол в стандартный вид 8. Область определения Щелкните по. Повторите

0 90º π/2 180º π 270º 3π/2 360º 2π 1. Тригонометрический круг 0 90º π/2 180º π 270º 3π/2 360º 2π 1 чет. 2 чет. 3 чет.4 чет. + - Помните! π = 180 °

2. Определение триг. функций Sin х Cos х 0 π/2 π 3π/2 2π2π Cos х Sin х sin х – ордината (у) cos х – абсцисса (х) tgx = ctgx = x x

π/2 0 π 3π/2 2π2π Красная линия - это плюс Синяя – это минус π/2π3π/22π2π у х sin cos tgtg сtgсtg y x (1;0) (0;1) (-1;0) (0;-1) arc

Табличные значения π/6π/4π/3 sin cos tgtg сtgсtg 1 1 Ряд синуса π/6π/4π/3 Для косинуса поменяйте крайние значения π/6π/4π/3 Ряд тангенса π/6π/4π/3 Для котангенса поменяйте крайние значения π/6π/4π/3

4. Знаки по четвертям Синус: знаки соответствуют знакам по оси У, косинус –по оси Х Тангенс и котангенс в 1 четв.- плюс, далее знаки чередуются 1. Определять четверть нахождения угла; 2. Определить знак функции. sin315º < 0, т.к угол 3 четв. tg5π/6 0, т.к Cos 2 Sin Cos Tg, ctg

5. Множество значений функций tgx R, ctgx R, -1 sin х 1, или |sinx | 1, - 1 cos х 1, или |cosx | 1, Уметь находить множество значений функции, выражения y = 3 -2sinx. E(y) = (1;5) sinx = -1 sinx = -1, y = 3+2 = 5 sinx = 1 sinx = 1, y = 3-2 = 1 π 3π/2 2π2π π/2 1 1 |sinx | 1 |cosx | 1

Период это число, при прибавлении которого к аргументу значение функции не изменяется Период – это число, при прибавлении которого к аргументу значение функции не изменяется. f(x +Т) = f(x) Если Т – период, то Tn для n Z тоже период. Считается Т – наименьший период можно опустить Так как f(x +Тn) = f(x), то Tn можно опустить Примеры 1. sin 390º = sin (360º + 30º) = sin 30º = ½ 2. sin 790º = sin (2360º + 30º) = sin 30º = ½ 3. tg 210º = tg (180º + 30º) = tg 30º = 4. cos 7π/3= cos (2π + π/3) = cos π/3 = ½ 5. cos (2π – β) = cos (-β) = cos β 6. sin (6π – 2α) = sin (-2α) = - sin 2α Т = 2π sin, cos Т = 2π Т = π tg, ctg Т = π

Синус, тангенс, котангенс – функции нечетные. Минус у угла можно вынести за знак функции Примеры - 1. sin ( – х) = - sin х - s 2. sin ( π/4 – х) = - sin ( х - π/4 ) 3. tg (- π/6) = - tg π/6 = - 4. cos (-7π/3)= cos 7π/3 = cos (2π + π/3) = cos π/3 = ½ 5. cos (-β) = cos β 6. ctg ( 2α - π/2) = - ctg (π/2 - 2α ) Косинус – функция четная. Минус у угла можно опустить

Синус, косинус D(y) = R Функции непрерывны на R Tангенс D(y) = R, x π/2 + πn x = π/2 + πn – вертикальная асимптота Котангенс D(y) = R, x πn x = πn – вертикальная асимптота tgx – определен при cosx 0 ctgx – определен при sinx 0

1. Формулы одного аргумента sin 2 + cos 2 = 1 sin 2 = 1 - cos 2 sin 2 = 1 - cos 2 cos 2 = 1 - sin 2 cos 2 = 1 - sin 2 Под понимается любой угол ( х, 2х, α/2 и т. д.)

Составьте формулы: 2. Формулы сложения sin ( ) = sin cos cos ( ) = cos sin tg ( ) = б) поставьте трафарет, проговорите: «синус на косинус, косинус на косинус, синус на синус; а) сначала поставьте знак; в) расставьте углы. Запомните!Запомните! Для sin синус на косинус, знак тот же; Для cos косинус на косинус, синус на синус, знак противоположный.

Составьте формулы: 3. Формулы двойного угла cos 2 = tg 2 = 2α2α sin 2 = а) определите углы: (половина, двойной ) ; в) составьте формулы б)используя формулы сложения, выведите формулы для угла ( α + α) ; 2 ____________ двойной угол половина угла 2 х ____________ половина угол двойной угол 2α2α = α х cos 2 - sin 2 2sin cos. Запомните!Запомните! Для sin два, синус на косинус, ; Для cos косинус квадрат минус синус квадрат. Угол справа в два раза меньше 2

1. Найдите половину угла: УголПоловина угла 4β4β 2х 60º 2х – π/4 2β2βх30º 120º 8β8β4хх – π/8 х – π/4 2. Примените формулу двойного угла sin х = 2sin х/2 cos х/2 2sin 2х cos 2х cos х = cos 2 2х - sin 2 2х cos 2 х/2 - sin 2 х/2 sin 2β = 2 2sin cos 2β2ββ β cos 4х = cos 2 - sin 2 2х 8х sin х cos х = 2 sin2х sin 2 х - cos 2 х = - cos 2х cos х/2 2β2β х 30º х – π/8 Помните! Если в выражении встречается sinxcosx, примените формулу двойного угла синуса

2. Формулы половинного угла. (понижения степени) cos 2 = tg 2 = sin 2 = 2 1 cos Запомните!Запомните! Для sin 2 единица м мм минус cos ; Для cos 2 единица п пп плюс cos; Угол справа в два раза больше

Составьте формулы: 4. Формулы перевода суммы в произведение а) для синуса и косинуса запишите 2 и - 2; г) составьте формулу для тангенса: синус, деленный на косинус б) запишите трафарет ; - sin α + sin β = sin α - sin β = cos α - cos β = cos α + cos β = tg α + tg β = tg α - tg β = в) расставьте полу сумму углов, полу разность 2222 sin cos cos cos sin sin Запомните!Запомните! Для sin sin на cos ; Для cos cos на cos или sin на sin ; Полу сумма, полу разность углов

Составьте формулы: 4. Формулы перевода произведения в сумму а) для синуса и косинуса запишите ½ ; б) запишите трафарет ; - sin α sin β = cos α cos β = г) расставьте разность и сумму углов ½ (sin cos ) (cos cos ) sin α cos β = ½ ½ (α – β) (α + β) ++ (cos cos ) в) Расставьте знаки между функциями

1. Привести углы в стандартный вид Угол с минусом преобразовать: нечетная – вынести, четная поменять знак. Формулы приведения 2. Алгебраические преобразования Подобные;Раскрытие скобок;Действия с дробями; Разложение на множители;ФСУ;Другие

3. Тригонометрические преобразования 3.1 По углу 3.2 По функции Углы динаковые – формулы одного угла Углы разнятся в два раза – формулы двойного или половинного угла Углы разные – формулы сложения, перевода суммы в произведение и наоборот Приведение к функциям sin и cos Приведение к одной функции – формулы приведения, половинного угла, одного аргумента Приведение к функции tg – формулы универсальной замены

1) Найдите 13 cos α + 1, если sin α = 5/13, π/2 α π 2) Упростить выражение 1 - tg х sin х cos х 5)Вычислите 3) Упростите выражение (1 + tg 2 α )(1 – cos 2 α ) 7) Упростите выражение sin 4 α – cos 4 α 6)Упростите выражение 4) Найдите значение дроби

1)Найдите 13 cos α + 1, если sin α = 5/13, π/2 α π Чтобы найти значение 13 cos α + 1, надо узнать cos α. Так как α принадлежит второй четверти, то cos α < 0, следовательно, 13 cos α + 1 = 13(- 12/13) + 1 = - 11

2. Упростить выражение 1 + tg х sin х cos х Заменить tg х на Получим: 1 - = 1 - sin 2 х = cos 2 х

Используем формулы: 3) Упростите выражение (1 + tg 2 α )(1 – cos 2 α ) 1 + tg 2 α = 1/cos 2 α 1 – cos 2 α = sin 2 α (1 + tg 2 α )(1 – cos 2 α ) =

Используем формулы: Sinα cos β + Sinβ cos α = sin (α+β) sinα cos α = ½ sin 2α 4) Найдите значение дроби Подставим значения:

5)Вычислите Сложим дроби: cos 15 sin15 Используем формулы: cos 2 α – sin 2 α = cos 2α sinα cos α = ½ sin 2α

6)Упростите выражение Применим формулы двойного угла косинуса и основное тригонометрическое тождество cos 2α = cos 2 α - sin 2 α Углы разнятся в два раза. sin 2 α + cos 2 α = 1

Применим разность квадратов Используем формулы: cos 2 α – sin 2 α = cos 2α sin 2 α + cos 2 α = 1 7) Упростите выражение sin 4 α – cos 4 α sin 4 α – cos 4 α = (sin 2 α – cos 2 α)(sin 2 α + cos 2 α ) sin 4 α – cos 4 α = (sin 2 α – cos 2 α)(sin 2 α + cos 2 α ) = - cos 2α

1. Определение обратных тригонометрических функций Вычислять значения выражений Находить угол и все множество углов 2. Обратные тригонометрические функции от отрицательных значений Вычислять арки от отрицательных значений 3. Значения триг. функций для диаметральных углов и табличных углов Для диаметральных углов определять значения по триг. кругу Для табличных углов запомнить ряды для синуса и тангенса

arcsin а = φ, sin φ = а. -π/2 φ π/2 arcsin а = φ, sin φ = а. -π/2 φ π/2 arccos а = φ, cos φ = а. 0 φ π arccos а = φ, cos φ = а. 0 φ π arctg а = φ, tg φ = а. -π/2 < φ < π/2 arctg а = φ, tg φ = а. -π/2 < φ < π/2 arcctg а = φ, ctg φ = а. 0 < φ < π arcctg а = φ, ctg φ = а. 0 < φ < π

arcsin(- а) = - arcsin а arcsin(- а) = - arcsin а arccos(- а) = π - arccos а arccos(- а) = π - arccos а arctg(- а) = - arctg а arctg(- а) = - arctg а arcctg(- а) = π - arcctg а arcctg(- а) = π - arcctg а Считая а > 0, Для sin и tg Для cos и ctg Минус вынести Пи минус арк

1. Решение простейших уравн. Решать уравнения по окружности Находить угол и все множество углов 2. Решение простых уравн. Записывать решения для каждой функции 3. Алгоритм решения Приводить угол в стандартный вид; Находить чистую функцию; Записывать решения Определять вид уравнения 4. Виды уравнений и их решение 5. Алгоритм поиска решений Применять пункты алгоритма к преобразованию выражений Определять вид уравнения

Уравнения sinх = 0, ± 1 Уравнения sinх = 0, ± 1 К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны 0, ±1; тангенс, котангенс равны 0 Решаются по окружности 0 -π/2 π/2 3π/2 π sinх = 0 sinх = 0 х = 0 Придем в следующий «нуль» через пол оборота х = πn, n х = πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π sinх = 1 sinх = 1 х = π/2 Придем в единицу через целый оборот sinх = -1 sinх = -1 х = π/2 +2πn, n х = π/2 +2πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π х = -π/2 х = - π/2 +2πn, n х = - π/2 +2πn, n

0 -π/2 π/2 3π/2 π Уравнения cosх = 0, ± 1 Уравнения cosх = 0, ± 1 К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны 0, ±1; тангенс, котангенс равны 0 Решаются по окружности 0 -π/2 π/2 3π/2 π cosх = 1 cosх = 1 х = 0 Придем в следующую 1 через целый оборот х = 2πn, n х = 2πn, n 0 -π/2 π/2 3π/2 π cosх = -1 cosх = -1 х = π Придем в единицу через целый оборот cosх = 0 cosх = 0 х = π +2πn, n х = π +2πn, n х = π/2 х = - π/2 +πn, n х = - π/2 +πn, n Придем в 0 через пол оборота

Минус единица в степени... Минус единица в степени... Плюс, минус … арктангенс арктангенс арккотангенс арккотангенс Считая а > 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsina + πn, где n Z (-1) n x = arcсosa + 2πn, где n Z ± Для уравнений tgх =а, ctgx = a Для уравнений sinx= a, tgх =а, ctgx = a + πn Для уравнения cosx = a +2πn+2πn+2πn+2πn

Минус единица в степени n +1… Минус единица в степени n +1… Плюс, минус, скобка, пи минус… Плюс, минус, скобка, пи минус… минус арктангенс пи минус арккотангенс пи минус арккотангенс Считая а < 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а x = arcsin|a| + πn, где n Z (-1) n+1 x = (π - arcсos|a|) + 2πn, где n Z ± Для уравнений tgх =а, ctgx = a x = аrctg|a| + πn, где n Z - x = π аrcctg|a| + πn, где n Z -

1. Угол - в стандартный вид; Х должен быть с плюсом Знак Приведение к острому углу 2. «Очистить» функцию; Привести к виду синус, косинус, тангенс, котангенс равны … 3. Определить какое уравнение, решить ; = 0,±1 Решать по окружности = а Решать по формулам Уравнение синуса – минус 1 в степени n (a>0), минус 1 в степени n + 1 (a 0), минус 1 в степени n + 1 (a0), ± (π – arc ) (a 0), ± (π – arc ) (a

1. Решите уравнения, отвечая на вопросы: sinх = ½ cos х = ½ Что это? Как это? Что прибавляется? х = tgx = Уравнение sin Уравнение cos Уравнение tg (-1) n arcsin…± arccos… arctg… πnπn πnπn 2πn2πn 2πn2πn πnπn х = (-1 )n arcsin ½ + πn х= (-1) n π/6 + πn, n Z х = ± arccos ½ + 2πn х= ± π/3 + 2πn, n Z х = arctg + πn х= π/6 + πn, n Z

1. Решите уравнения, отвечая на вопросы: sinх = - ½ cos х = - ½ Что это? Как это? Что прибавляется? х = ctgx =- Уравнение sin Уравнение cos Уравнение ctg (-1) n+1 arcsin…±(π- arccos… ) π-arcctg… πnπn πnπn 2πn2πn 2πn2πn πnπn х= (-1) n+1 π/6 + πn, n Z х= ±(π - π/3 )+ 2πn, x = ±2π/3 +2πn, n Z х= π- π/3 + πn, n Z x = 2π/3 + πn