Задача 7 Рыбаки и рыбки Презентация составлена на основе решения задания «Рыбаки и рыбки» одной из команд, участвовавшей в заочном конкурсе Турнира юных естествоиспытателей 2012 года. Оргкомитет ТЮЕ-2013

Условие задания Три рыбака, наловив рыбы, улеглись спать, решив разделить улов следующим утром. Первый рыбак проснулся раньше других и решил забрать свою долю, не дожидаясь, когда проснутся остальные. Он разделил улов на три равные по количеству рыбок части, но одна рыбка оказалась лишней. Тогда он выпустил лишнюю рыбку в реку, забрал свою долю улова и ушел. Затем проснулся второй рыбак. Он не заметил,что первого рыбака уже нет, и решил забрать свою долю улова,не дожидаясь, когда проснутся остальные. С ним получилось то же, что и с первым рыбаком : разделил улов, выпустил лишнюю рыбку, забрал свою долю, ушел. То же произошло и с последним рыбаком. Сколько рыбок было в улове?

Сколько было рыбок в улове ? ?????

Решение задачи : составим таблицу из неизвестных Перед дележкой ВзялиОсталось 1-й рыбак 3x+1х2х 2-й рыбак 2x2x2x2xу2у 3-й рыбак 2yz 2z2z2z2z

Получаем систему уравнений : 2х=3у+1, 2у=3z+1, 3х+1=1+х+1+у+3z+1; Выразим х и z из первых двух уравнений и подставим в третье уравнение : х=1/2(3у+1), z=1/3(2у-1), 3*1/2(3у+1)=3+1/2(3у+1)+у+3*1/3*(2у-1); Тогда получаем, что 0=0,следовательно третье уравнение эквивалентно первым двум, и т. к. остается два уравнения с тремя неизвестными, то решений бесконечно много

х?z - окончание задачи связано с начальными условиями 2х=3у+1 2у=3z+1 2*1/3(2х-1)=3z+1 2(2х-1)=9z+3 4х-9z=5 Х=1/4(5+9z) Дальше решаем методом подбора : х,у,z – должны быть целыми,т. к. рыбаки забирали только целые рыбки;

Если z=1 или 2,то х – не целое число Если z=3,то х=8 Так как у=1/3(2х-1),то у=5; Получаем минимальное количество рыбу, которую выловили рыбаки: N =3*8+1 = 25 рыб (минимальное количество, которое они могли выловить) И так далее по такому же принципу подбирая z и выполняя условия что x, y, z – целые – получаем последовательность решений…

Наловили I рыбак I рыбак I I рыбак I I рыбак I I I рыбак I I I рыбак И так далее по такому же принципу…

Решение Дирака Ответ Дирака(D) : -2. Дирак – математик, и «-1» рыба его не смущала N к ' и N к – два соседних решения : N к ' =N к - D N к+1 ' =N к+1 -D=2/3(N к -D)-2/3(D-1)=2/3(N к -D) 2/3 остается после предыдущего рыбака Очевидно, данное выражение представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем 2/3

Nк =(2/3) N 0 -D=(2/3) k (N+2)-2 Nк – должно быть целым числом, следовательно (N+2) – должно быть кратным 3 3 = 27 (так как рыбаков трое) N+2= 27n,где n – любое целое число N = 27n -2 n = 1, то N = 25 n = 2, то N = 52 n = 3, то N = 106 и т.д. Т.е. получаем решения, которые представлены ранее в таблице

С ПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ