Перпендикулярные прямые в пространстве. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен b a c a b, a b c a, c a c /c /c /c /

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. a b c a II b, a c A C M

B А C D В тетраэдре АВСD ВС АD. Докажите, что АD MN, где М и N – середины ребер АВ и АС. M N II

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. a a

О 1 АВ прямых углов Построение прямых углов на местности с помощью простейшего простейшего прибора, экер который называется экер Треножник Треножниксэкером Отвес Экера перпендикулярен плоскости земли.

Канат в спортивном зале перпендикулярен плоскости пола.

A O В Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD. Докажите, что АВ = ВD. D По опр. С

A OВ Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD, ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС. По опр. СС D

A OВ Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD. ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС. По опр. СС D

В В треугольника АВС дано: С = 90 0, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ. По опр. С К А М 12 см 8 см 6см

В Еще один эскиз к задаче С К А М 12 см 8 см 6см

В К O С Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b. По опр. А D a b a

a a1a1a1a1 Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. a х

a b Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. a b a II b

a Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. a b a II b b b1b1b1b1 Mc

С М O В АВС – правильный треугольник. О – его центр, ОМ – перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника. По опр. А 3 1

А Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость, параллельная ВС, ВВ 1 и СС 1, СС 1 =4, АС 1 = АВ 1 =,. Найдите ВС. В ВВ 1 СС 1 С1С1 С В1В1 44

С М O В А 2 D В М O С А Дано: АВСD – квадрат со стороной 4, О – точка пересечения диагоналей. Найти расстояние от точки М до вершин квадрата АВС –равносторонний треугольник со стороной О – точка пересечения медиан. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника. Дано:

Р Прямая РQ параллельна плоскости. Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р 1 и Q 1. Докажите, что РQ = P 1 Q 1. Q Q1Q1 P1P1 IIQQ 1 PP 1 IIQQ 1 РР 1 QQ 1

ABCD – параллелограмм. BE (ABC), DF (ABC) Доказать: (АВЕ) II (СDF) А В С D Е F II DF ВЕ II DF ВЕ (АВС) DF (АВС) II DC AB II DC II (CDF) (ABЕ) II (CDF)

Р Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р 1 и Q 1. Найдите Р 1 Q 1. Q Q1Q1 IIQQ 1 PP 1 IIQQ 1 РР 1 QQ ,5 33,5 По опр. P1P1