{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка - общее решение линейного однородного дифференциального уравнения - формула Остроградского – Лиувилля - теорема о понижении порядка - структура решения линейного неоднородного дифференциального уравнения - метод Лагранжа вариации произвольных постоянных – пример }

Линейное дифференциальное уравнение n - го порядка имеет вид y (n) +p 1 (x)y (n-1) +….+ p n-1 (x)y+p n (x)y = f(x), где y – искомая функция, а p k (x) и f(x) – заданные функции, определенные и непрерывные на некотором отрезке [a,b]. Частное решение получается при закреплении постоянных C 1, C 2, …,C n, получаемое с использованием начальных условий. При уравнение называется неоднородным, при f(x) = 0 – однородным. Общим решением уравнения является функция y = (x, C 1, C 2, ……, C n ), зависящая от n произвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных.

Если функция f - правая часть дифференциального уравнения y (n) = f(x,y,y,…,y (n-1) ) является непрерывной в некоторой замкнутой (n+1) - мерной области D пространства: oxyy,…,y (n-1) и имеет в этой области ограниченные частные производные по каждому из аргументов функции f, то каждой внутренней точке P 0 (x 0,y 0,y 0,….,y 0 (n-1) ) области D соответствует, и притом единственное, решение y = (x), удовлетворяющее заданным начальным условиям y = y 0, y = y 0, ….., y (n-1) 0 при x = x 0 т.е. (n ) (x)= f(x, (x), (x), ….., (n-1) (x) ) ; (x 0 ) = y 0, ……., (n-1) (x 0 ) = y (n-1) 0

Однородное линейное уравнение допускает нулевое решение. Это (тривиальное) решение соответствует нулевым начальным условиям. Введем линейный дифференциальный оператор Дифференциальные уравнения запишутся как или. Если y 1 (x) является решением неоднородного уравнения, то Оператор L обладает свойствами линейности и линейной комбинации Тривиальное решение однородного уравнения:

Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму двух функций и если известны частные решения уравнений с каждым из слагаемых в правой части, то сумма этих частных решений есть частное решение исходного дифференциального уравнения Теорема - о частных решениях однородного линейного уравнения Любая линейная комбинация частных решений линейного однородного дифференциального уравнения также является частным решением этого уравнения Доказательство Теорема - о частных решениях неоднородного линейного уравнения Доказательство

Теорема - о связи частных решений неоднородного и однородного линейных уравнений Доказательство Разность любых двух частных решений неоднородного линейного дифференциального уравнения есть частное решение соответствующего (с той же левой частью) однородного линейного уравнения

Понятие линейной независимости частных решений рассмотрим на примере однородного дифференциального уравнения второго порядка Две функции y 1 и y 2 и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их линейная комбинация не обращается в ноль ни каких значениях коэффициентов (не обращающихся одновременно в ноль), т.е. если В противном случае функции называются линейно зависимыми. Две функции y 1 и y 2 и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их отношение на этом интервале не является постоянным В противном случае функции называются линейно зависимыми.

@ Решить дифференциальное уравнение второго порядка: Решение

Две функции y 1 и y 2 и являются линейно независимыми на некотором интервале, если их вронскиан на этом интервале нигде не обращается в ноль т.е. если: В противном случае функции называются линейно зависимыми. Определителем Вронского называется функциональный определитель

то общее решение однородного линейного уравнения есть комбинация линейно независимых частных решений Для линейного однородного дифференциального уравнения n- го порядка вронскиан запишется в виде Если

@ Решить ЛОДУ 2 с заданными начальными условиями : Решение

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых частных решения y 1 и y 2. Если известно одно из частных решений – y 1, то второе можно найти по формуле Остроградского - Лиувилля

@ Решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка : Решение