Основные сведения из математики, необходимые для понимания геометрических моделей Три главных формы математического представления кривых и поверхностей Аналитическое описание отрезков прямых, кривых второго и третьего порядка в каноническом виде Аффинные преобразования Понятие однородных координат Основные операции векторной алгебры Решение геометрических задач на плоскости (положение точки относительно прямой и многоугольника, пересечение прямых и т.п.)

Три главных формы математического представления кривых и поверхностей Явная форма Неявная форма Параметрическая форма представления

Явная форма представления кривых и поверхностей Явная форма – уравнение, в левой части которого стоит зависимая переменная, а в правой части – функция, аргументом которой является независимая переменная: Недостаток: линии существуют независимо от их формы представления, но явное задание возможно не для всех типов линий!

Примеры невозможности описания линий в явном виде 1. Окружность симметричная кривая в двумерном пространстве. Задается радиусом – r и центром, если центр находится в начале координат, то в явном виде окружность можно задать только двумя уравнениями:

2. В трехмерном пространстве не все кривые и поверхности могут быть описаны уравнениями в явном виде. Система уравнений: Описывает прямую в трехмерном пространстве. Но таким образом нельзя описать прямую, лежащую в вертикальной плоскости (x=const)

Неявная форма задания кривых и поверхностей Математическое описание с помощью формулы: Смысл такого описания: функция f выделяет из всех точек пространства те, которые принадлежат описываемой линии. Можно проверить для каждой пары или тройки координат лежат ли эти точки на кривой. Достоинство: Менее зависима от системы координат, чем явная форма задания, т.к. предоставляет возможность, например, легко задавать окружность

Недостаток неявной формы задания: В общем случае неявная форма не позволяет определить значение координаты y точки на кривой для заданного значения x (например, для самопересекающихся функций) Пример: линия в трехмерном пространстве описывается только с помощью системы уравнений, представляющих поверхности, пересечение которых и образуют эту поверхность, если таковое пересечение есть:

Параметрическая форма представления Достоинства: единообразие в двумерном и трехмерном пространствах Наиболее гибкая, Устойчива к любым изменениям формы и ориентации объектов Нет привязанности к системе координат

Математическое представление отрезка прямой. Неявное задание: Явное задание: Параметрическое задание: