Сравнение систем быстрого счета при умножении по Трахтенбергу и Берману. Выполнила : Воронкина Юлия 5 «А» класс Преподаватель: Никифорова Н.В. Ангарск, 2006 год Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 4»

Содержание разделов 1. умножение на девять 2. правила умножения разных чисел по Берману и Трахтенбергу 3. возведение в квадрат двузначных чисел 4. умножение трехзначного числа на трехзначное число по Берману и умножение многозначного числа на многозначное по Трахтенбергу

Цель работы: Облегчить и рационализировать вычисления; Обеспечить большую надежность вычисления.

Задачи: Изучить приемы быстрого счета по Трахтенбергу, Берману; Произвести исследования систем быстрого счета при умножении, выявить закономерности, сходства и различия; Отобрать приемы быстрого счета для практического применения.

Пальцевый счет Умножение однозначного числа на 9 на пальцах рук Это правило вывели в Древней Индии. Пример: 4 х 9 Поставьте перед собой руки ладонями вверх. Начинаем счет с большого пальца левой руки. Отсчитываем четвертый палец, слева от этого пальца – десятки, их три, а справа от этого пальца – единицы, их шесть. Получается тридцать шесть.

Рим (I век до н.э.) 10 х (а-5) + (в -5) +(10-а) х (10-в)=ав 5

УМНОЖЕНИЕ НА ОДИННАДЦАТЬ. (По Трахтенбергу) Последняя цифра множимого (число, которое умножается) записывается как самая правая цифра результата. Каждая следующая цифра множимого складывается со своим правым соседом и записывается в результат. Первая цифра множимого становится левой цифрой результата. Это последний шаг. Основные правила умножения на 11 :

Пример: 633 умножить на 11 Ответ пишется под 633, по одной цифре справа налево, как указано в правилах. Звездочки над множимым в нашем примере показывают цифры, используемые в каждом шаге при решении примера. Приступим к решению примера. УМНОЖЕНИЕ НА ОДИННАДЦАТЬ (По Трахтенбергу)

633 умножить на 11 Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата: 633 х 11 3

Второе правило. Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат.3+3 будет 6. Перед 3 записываем результат 6: 633 х умножить на 11

Применим правило еще раз: 6+3 будет 9. Записываем и эту цифру в результате: 633 х умножить на 11

Третье правило. Первая цифра числа 633, т.е. 6, становится левой цифрой результата: 633 х Ответ: умножить на 11

УМНОЖЕНИЕ НА ОДИННАДЦАТЬ (По Берману) Берман вывел, что при умножении на 11 число нужно умножить на 10 и прибавить само себя, то есть то число, которое мы умножаем. 11=(10+1) – РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН УМНОЖЕНИЯ

Пример: 110 х х 11 = 110 х (10 + 1) = 110 х х 1 = = 1210 Ответ: 1210

___ ___ ___ авс х 11 = авс х (10 + 1) = авс х 10 + ___ авс х 1 = ____ ___ = авс0 + авс УМНОЖЕНИЕ НА ОДИННАДЦАТЬ (По Берману)

УМНОЖЕНИЕ НА ДВЕНАДЦАТЬ (По Трахтенбергу) Правило умножения на 12 : Нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее «соседа».

Пример: х 12 Напишите цифры множимого через интервал и каждую цифру результата пишите точно под цифрой числа , из которой она образовалась.

х 12 4 дважды 7 будет = 14, переносим х дважды 4 плюс 7 плюс 1 будет = 16, переносим 1 Пример: х 12

х дважды 2 плюс 4 плюс 1 будет = 9 Следующие шаги аналогичны. Окончательный ответ: х Пример: х 12

УМНОЖЕНИЕ НА ДВЕНАДЦАТЬ. (По Берману) При умножении на 12 можно число умножить сначала на 6, а затем на 2. 6, в свою очередь, можно разбить на два множителя это 3 и 2.

Пример: 136 х х 12 = 136 х 6 х 2 =816 х 2 =1632 Ответ: 1632

Пример: 136 х х 12 = 136 х 3 х 2 х 2 = 408 х 2 х 2 = 816 х 2 = 1632 Ответ: 1632 Ответы двух примеров одинаковы. Поэтому при умножении на двенадцать можно использовать любое из этих правил.

УМНОЖЕНИЕ НА ШЕСТЬ (По Трахтенбергу) Прибавить к каждой цифре половину «соседа» Пример: х х является правой цифрой этого числа, и, т.к. «соседа» у нее нет, прибавлять нечего.

Пример: х х 6 04 Вторая цифра 8, ее «сосед» 4. Мы берем 8, прибавляем половину 4 (2) и получаем 10, ноль пишем, 1 в перенос.

х Следующая цифра ноль. Мы прибавляем к ней половину «соседа» 8 (4), т.е. 0+4, получаем 4, плюс перенос (1). Пример: х 6

Остальные шаги аналогичны. Окончательный ответ: х

Правило умножения на 6 Является ли «сосед» четным или нечетным – никакой роли не играет. Мы смотрим только на саму цифру: если она четная, прибавляем к ней целую часть половины «соседа», если нечетная, то, кроме половины «соседа», прибавляем еще 5.

Пример: х х – четная и не имеет «соседа», напишем ее снизу х – нечетная: 5+5 и плюс половина «соседа» 2(1), будет 11, запишем 1 и в перенос (1).

х Половина от 5 будет 2, и прибавим перенос (1), пишем х – нечетная, будет 8. Пример: х 6

х половина от 3(1), будет х половина от 4(2), будет 6. Пример: х 6

х ноль + половина от 4(2), будет 2. Ответ: Пример: х 6

УМНОЖЕНИЕ НА ШЕСТЬ (По Берману) Умножить Число на шесть это все равно, что умножить на два и три, потому что, перемножив два и три, получится шесть, и поэтому ответ будет одинаков, если мы Число умножим на шесть и, если мы Число умножим на три и на два.

Пример: 18 х 6 18 х 2 х 3 = 36 х 3 = 108 Ответ: 108

Пример: 75 х 6 75 х 2 х 3 = 150 х 3 = 450 Ответ: 450

ВОЗВЕДЕНИЕ ДВУХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ В КВАДРАТ (Берман, Трахтенберг ) Нужно возвести в квадрат любое двухзначное число: Пример: 43=43х43= Х 3 Х

Вывод: ав 2 в х а х в + а 2

Частный случай 5а 2 25+а а 2

а5 2 а х (а+1) 5 2

2 2 15=1х(1+1) 5х5=225 51=5х5+1 1х1= =2х(2+1) 5х5=625 52=5х5+2 2х2= =3х(3+1) 5х5= =5х5+3 3х3= =4х(4+1) 5х5= =5х5+4 4х4=2916 ВОЗВЕДЕНИЕ ДВУХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ В КВАДРАТ (Берман, Трахтенберг)

2 2 55=5х(5+1) 5х5= =5х5+5 5х5= =6х(6+1) 5х5= =5х5+6 6х6= =7х(7+1) 5х5= =5х5+7 7х7= =8х(8+1) 5х5= =5х5+8 8х8= =9х(9+1) 5х5= =5х5+9 9х9=3481 ВОЗВЕДЕНИЕ ДВУХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ В КВАДРАТ (Берман, Трахтенберг)

УМНОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНОГО ЧИСЛА НА ТРЕХЗНАЧНОЕ (По Берману) х х х Пример: 512 х 625 х … 37.. х … х … Ответ:

УМНОЖЕНИЕ МНОГОЗНАЧНОГО ЧИСЛА НА МНОГОЗНАЧНОЕ (По Трахтенбергу) Х Используем правило умножения на 8. Используем правило умножения на 9. Используем правило умножения на 4. Результат получаем, сложив столбцы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Система быстрого счета по Трахтенбергу основана на закономерностях умножения чисел. Чтобы умножить на 11, 12, 6 и т.д. надо знать алгоритм выполнения. Этим система неудобна, надо в памяти держать много правил быстрого счета, но система Трахтенберга показывает, как красива математика, если человек открывает тайны ее закономерностей, изучит их и научится применять на практике. В системе быстрого счета по Берману, доминирует практическое направление основанное на закономерностях. Обе системы заслуживают изучения и творческого осмысления.

Список литературы 1. Г. Н. Берман. Приемы быстрого счета. 2. Э. Катлер. И. Р. Мак-Шейм. Система быстрого счета по Трахтенбергу. 3. В. Пекелис. Маленькая энциклопедия о большой кибернетике. 4. Я.И. Перельман. Занимательная арифметика. 5. А. Виттинг. Сокращенные вычисления.