Решение линейных уравнений с параметрами

Проверка домашнего задания Упражнения 622, 624(а,в), 625(а), 626(в) учебника «Алгебра 7»

Упражнение 624(а) Решите уравнение 0,3(2x – 1) – 0,4 (x + 8) = 1,2x – 1

Решение: 0,3(2x – 1) – 0,4 (x + 8) = 1,2x – 1; 0,6x – 0,3 – 0,4x – 3,2 = 1,2x – 1 ; 0,6x – 0,4x –1,2x = 0,3 + 3,2– 1 ; – x = 2,5; x = –2,5. Ответ: -2,5.

Упражнение 624(в) Решите уравнение – 6(2 – 0,2x) + 11 = – 4(3 – 0,3x) – 1

Решение: – 6(2 – 0,2x) + 11 = – 4(3 – 0,3x) – 1; – ,2x + 11 = – ,2x – 1; 1,2x – 1,2x = 12 – ; 0x = 2. Ответ: решений нет.

Упражнение 625(а) Решите уравнение (2x – 1)(3x + 7) – (1 + 6x)(x + 2) = 4

Решение: (2x – 1)(3x + 7) – (1 + 6x)(x + 2) = 4; 6x x – 3x – 7 – (x x x) = 4; 6x x – 3x – 7 – x – 2 – 6x 2 – 12x = 4; 6x x – 3x – x – 6x 2 – 12x = ; – 2x = 13; x = – 6,5. Ответ: – 6,5.

Упражнение 626(в) Решите уравнение x 2 + x – = 1;

Решение: x 2 + x – = 1; 5 x 2 + 5x – (5 x 2 – x – 1) = 5; 5 x 2 + 5x – 5 x 2 + x + 1 = 5 ; 6x = 5 – 1; 6x = 4; x =. Ответ:.

Упражнение 622 При каких значениях a уравнение ax = 2a – 1 не имеет корней (Ответ: при a = 0) имеет бесконечно много корней (Ответ: таких значений a нет) имеет единственный корень (Ответ: при а 0)

Устная работа 1. Найдите корни уравнения: а) 14 +3x = 5 – x ; б) 105y – 28 = 105y + 7; в) 34x + 2 = 34x + 2. Ответ: -2,25 Ответ: нет решений Ответ: х – любое число

2. При каких значениях a число 3 является корнем уравнения? а) ax = – 6; б) 8x = 3a. Ответ: при а = -2. Ответ: при а = 8.

3. Укажите контрольные значения, при которых уравнение не имеет решений или решением является любое число? а) (5 – a) x = 0; б) (b + 4)x = 5; в) ax = x.

Изучение нового материала Решение уравнений с параметрами

Рассмотрим уравнение mx + 3 = 4m – 2x. Оно содержит две переменные: m и x. Чем же они отличаются? Одна из переменных, например m, принимает любые значения, тогда переменная x принимает не все значения, а только те, которые получаются при заданных значениях переменной m.

Решим данное уравнение при m = 2, - 1, 0. если m = 2, то уравнение примет вид 2x + 3 = 8 – 2x. Ответ: 5/4; если m = - 1, то уравнение примет вид – x + 3 = – 4 – 2x. Ответ: – 7; если m = 0, то уравнение примет вид 3 = – 2x. Ответ: – 1,5.

Переменную m, значения которой мы задаём, называют параметром (фиксированным числом). Решить уравнение с параметром – значит, для любых допустимых значений параметра найти значения неизвестной переменной.

Но можем ли мы перебрать все значения параметра m, чтобы найти значения x? Для решения линейного уравнения с параметром применяется тот же алгоритм решения, как и для линейного уравнения без параметра, т.е. перенос слагаемых и приведение подобных слагаемых.

Решение: mx + 3 = 4m – 2x; mx + 2x = 4m – 3; (m + 2)x = 4m – 3; – x = 2,5; Найдите контрольные значения m, при которых уравнение не имеет решений (m = -2).

Запишем решение уравнения далее так: при m = - 2 уравнение примет вид 0x = - 11, решений нет; при m - 2 уравнение имеет единственное решение x =.

Для удобства записи ответа сделаем рисунок решений, т.е. изобразим линию параметра х = х = -2 m Ответ: при m = -2 решений нет; при m -2 единственное решение x =.

Разберем решение следующего уравнения: n 2 x + 3nx = 5n Решение: n 2 x + 3nx = 5n + 15; n (n + 3) x = 5 (n + 3); n = – 3; 0 – контрольные значения параметра

1) при n = - 3 уравнение примет вид 0x = 0, x – любое число; 2) при n = 0 уравнение примет вид 0x = 15, решений нет; 3) при n - 3; 0 уравнение имеет единственное решение x = =. х = x – любое число -3 0

Ответ: при n = - 3 x – любое число; при n = 0 решений нет; при n - 3; 0 – единственное решение x =.

Самостоятельное решение уравнений 1. 2кx – 5(2 + x) = a 2 x – 2a = a 2 + ax. 3. =.

Решение уравнения 1 2кx – 5(2 + x) = 7; 2кx – 5x - 10 = 7; 2кx –5x = ; (2к –5) x = 17; 2к –5 = 0, к = 2,5 – контрольное значение параметра

Ответ: при n = - 3 x – любое число; при n = 0 решений нет; при n - 3; 0 – единственное решение x =.

1) при к = 2,5 уравнение примет вид 0x = 17, решений нет; 2) при к 2,5 уравнение имеет единственное решение x =. х = 2,5 к

Ответ: при к = 2,5 решений нет; при к 2,5 – единственное решение x =.

Решение уравнения 2 a 2 x – 2a = a 2 + ax; a 2 x – ax = a 2 + 2a; a(a – 1)x = a (a + 2); a(a – 1) = 0, a = 0; 1 – контрольные значения параметра

1) при a = 0 уравнение примет вид 0x = 0, x – любое число; 2) при a = 1 уравнение примет вид 0x = 3, решений нет; 3) при a 0; 1 уравнение имеет единственное решение x = =.

x = а Ответ: при a = 0 x – любое число; при a = 1 решений нет; при a 0; 1 единственное решение x =. x – любое число 0 1 x =

Решение уравнения 3 = ; 2 mx – 4 = 3 – mx; 2 mx + mx = 3 + 4; 3 mx = 7; m = 0 – контрольное значение параметра.

1) при m = 0 уравнение примет вид 0x = 7, решений нет; 2) при m 0 уравнение имеет единственное решение x =. х = 0к

Ответ: при m = 0 решений нет; при m 0 единственное решение x =.

Подведение итогов Алгоритм решения уравнений с параметром: освобождение от знаменателя, умножив обе части равенства на одно и тоже отличное от нуля число; раскрытие скобок; перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком; приведение подобных слагаемых.

Домашнее задание 1. Упражнения 631, 632, 633 учебника «Алгебра 7». 2. Решите уравнение: а) - ; б) m (x + 1) + 3 = 8 (x + 1).