Теорема синусов Теорема. (Теорема синусов.) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Причем отношение стороны треугольника к.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Теорема косинусов Теорема (косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон.
Advertisements

Прямоугольные треугольники Треугольник называется прямоугольным, если … у него есть прямой угол. Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника…
AB C b c β γ Теорема 1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус.
Площадь треугольника Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следствие. Площадь.
Подобие треугольников Два треугольника называются подобными, если углы одного соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны.
Геометрия, 9 класс. ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА.
Замечательные точки треугольника К числу замечательных точек треугольника относятся: а) точка пересечения биссектрис – центр вписанной окружности; б) точка.
Углы, связанные с окружностью Угол с вершиной в центре окружности называется центральным. Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают.
Второй признак подобия треугольников Теорема. (Второй признак подобия.) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника.
Перпендикуляр Перпендикуляром, опущенным из точки A на прямую а, называется отрезок AB, соединяющий точку A с точкой B прямой a, перпендикулярный прямой.
Сумма углов треугольника Следствие. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 о. Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о. Доказательство.
Теорема косинусовТеорема синусов Соотношения между сторонами и углами треугольника Решения треугольников Нажатием мышки выберите нужную тему. Тест РЕШЕНИЕ.
Прямоугольные треугольники Треугольник называется прямоугольным, если … у него есть прямой угол. Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника…
Задача 1. Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a, причем r < R и r + R.
Теорема косинусовТеорема синусов Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами Решения треугольников Нажатием мышки выберите нужную.
Значение синуса (sin),косинуса (cos) и тангенса (tg) для углов 30˚, 45˚ и 60˚
Зозуля Е.А. МАОУ лицей 3. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. А В С Сторона прямоугольного треугольника,
AC 2 = AB 2 + BC 2 – 2 AB BC cos ACB 1 Для треугольника АВС справедливо равенство ПОДУМАЙ ! BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2 AB AC cos ABC 2 3 ВЕРНО! AB 2 = BC.
Многоугольники, описанные около окружности Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность.
Укажите вид треугольника, не вычисляя его углов. 7; 8 и 12 3; 4 и 5 8; 10 и 12 тупоугольный прямоугольный остроугольный.
Транксрипт:

Теорема синусов Теорема. (Теорема синусов.) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Причем отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около треугольника окружности, Доказательство. Опишем около треугольника ABC окружность с центром O и радиусом R. В треугольнике ABD, сторона AD которого проходит через O, углы C и D опираются на одну и ту же дугу и, следовательно, равны. ABD = 90 о. Таким образом, Аналогично имеют место и другие требуемые равенства.

Упражнение 1 Ответ: Угол B равен 45 о или 135 о. В треугольнике даны две стороны а = 3, b =, противолежащий стороне а угол А равен 30 о. Найдите угол B, лежащий против стороны b.

Упражнение 2 Ответ: 2 : 3 : 4. Стороны треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите отношения синусов углов этого треугольника.

Упражнение 3 Ответ: 3 : 4 : 5, прямоугольный. Синусы углов треугольника относятся как 3 : 4 : 5. Найдите отношение сторон этого треугольника. Какой это треугольник?

Упражнение 4 Найдите отношения сторон АС : ВС и АВ : ВС в треугольнике АВС, в котором: а) A = 120 о, B = 30 о ; б) A = 90 о, B = 30 о. Ответ: а) : 3, : 3;б) 1 : 2 и : 2.

Упражнение 5 Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 3. Найдите отношение сторон. Ответ: 1 : : 2.

Упражнение 6 В треугольнике АВС АВ = 6 см, A = 45 о, С = 120 о. Найдите сторону BC. Ответ: см.

Упражнение 7 В треугольнике ABC сторона AB равна 4 см, угол C равен 150 о. Найдите радиус описанной окружности. Решение. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда угол AOB равен 60 о. Следовательно, треугольник AOB – равносторонний. Радиус описанной окружности равен 4. Ответ. 4.

Упражнение 8 Сторона AB треугольника ABC равна 10 см. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если противолежащий этой стороне угол C равен: а) 30 о ; б) 45 о ; в) 60 о ; г) 90 о ; д) 150 о. Ответ: а) 10 см; г) 5 см;д) 10 см. б) см; в) см;

Упражнение 9 Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 3 см. Найдите сторону AB этого треугольника, если противолежащий ей угол C равен: а) 30 о ; б) 45 о ; в) 60 о ; г) 90 о ; д) 150 о ? Ответ: а) 3 см;г) 6 см; д) 3 см. б) ;в) см;

Упражнение 10 Стороны треугольника равны 5, 5, 8. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Решение. Пусть в треугольнике ABC AC = BC = 5, AB = 8. Тогда высота CD равна 3, sin A = 0,6. Для радиуса R описанной окружности имеем: Ответ.

Упражнение 11 Две стороны треугольника равны 5 и 6. Высота, опущенная на его третью сторону, равна 4. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Решение. Пусть в треугольнике ABC AC = 5, BC = 6, высота CD равна 4. Тогда sin A = 0,8. Для радиуса R описанной окружности имеем: Ответ.

Упражнение 12 Две стороны треугольника равны 4 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту, опущенную на третью сторону этого треугольника. Решение. Пусть в треугольнике ABC AC = 4, BC = 6, радиус R описанной окружности равен 5. Тогда sin A = 0,6 и высота CD равна 2,4. Ответ. 2,4.

Упражнение 13 Спортивный самолет летит по замкнутому треугольному маршруту с постоянной скоростью. Два угла этого треугольника равны по 30 о. Большую сторону он пролетел за 1 ч. За сколько времени он пролетит весь маршрут? Ответ: 2 ч 5 мин.

Упражнение 14 Используя рисунок, укажите способ нахождения расстояния d от точки A до недоступного объекта C. Ответ:

Упражнение 15 Используя рисунок, укажите способ нахождения высоты BC недоступного объекта. Ответ:

Упражнение 16 Используя рисунок, укажите способ нахождения глубины h оврага. Ответ:

Упражнение 17 Используя рисунок, укажите способ нахождения расстояния d между двумя недоступными объектами C и D. Ответ:

Упражнение 18 Используя рисунок, укажите способ нахождения угла, под которым видна башня CD из недоступного пункта B. Ответ:

Упражнение 19 Используя рисунок, укажите способ нахождения угла, под которым видна башня BD из вершины C башни AC. Ответ:

Упражнение 20 Используя рисунок, укажите способ нахождения угла, под которым виден участок дороги BD из недоступного пункта C. Ответ: Искомый угол теперь находится с помощью теоремы синусов, или теоремы косинусов.