На сайте представлен математический этюд «Увеличение объема выпуклых многогранников», в котором рассматривается вопрос: «Можно ли деформировать правильный тетраэдр так, чтобы его объем увеличился?». Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем Оказывается можно. Здесь мы дополним его соответствующими вычислениями и покажем, что можно еще чуть-чуть увеличить объем тетраэдра по сравнению с тем, что предлагается в этюде.

Сначала рассмотрим способ деформации тетраэдра, о котором рассказано в этюде, предложенный Д. Бликером (David D. Bleecker. Volume increasing isometric deformations of convex polyhedra // Journal Differential Geometry V P ). Для этого на гранях тетраэдра нарисуем дополнительные линии, как показано на рисунке. Здесь A, B, C – середины соответствующих сторон грани ABD тетраэдра ABCD, A 1 A, B 1 B, C 1 C равные перпендикуляры к этим сторонам, A 1 B 1 C 1 – правильный треугольник, стороны которого равны удвоенным перпендикулярам.

Аналогичные линии проведем на остальных гранях тетраэдра. На рисунке изображены такие линии на двух соседних гранях ABD и BCD тетраэдра. Наша задача состоит в том, чтобы найти объем этого невыпуклого многогранника. Продавим середины ребер тетраэдра внутрь так, чтобы нарисованные линии стали ребрами нового многогранника, а половины ребер тетраэдра лежали на его гранях. Получим невыпуклый многогранник, составленный из четырех правильных шестиугольных пирамид и многогранника, гранями которого являются четыре правильных шестиугольника – основания этих пирамид и четыре правильных треугольника, лежащие на гранях исходного тетраэдра.

Пусть исходный тетраэдр – единичный. Напомним, что объем единичного тетраэдра равен Обозначим x длину отрезка AA 1. Тогда длина отрезка A 1 B 1 равна 2x. Заметим, что радиус окружности, описанной около треугольника A 1 B 1 C 1, равен, а его сумма с отрезком AA 1 равна радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC, т.е. равна. Таким образом, имеем уравнение, решая которое, находим. Следовательно, сторона a основания правильной шестиугольной пирамиды равна.

Для нахождения объема этой пирамиды заметим, что отрезок DA является высотой грани пирамиды и его длина равна 0,5. По теореме Пифагора находим DO – высоту h правильной шестиугольной пирамиды, Напомним, что объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и высотой h вычисляется по формуле Подставляя в эту формулу значения a и h, получим значение V 1 объема правильной шестиугольной пирамиды. Пусть O – центр основания пирамиды. Отрезок OA является радиусом окружности, вписанной в основание пирамиды, его длина равна

Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре правильных шестиугольника и четыре правильных треугольника. Он получается из правильного тетраэдра с ребром 3a отсечением от вершин правильных тетраэдров с ребром a. Следовательно, его объем V 2 выражается формулой Объем V невыпуклого многогранника равен 4V 1 + V 2. Таким образом, имеем Подставляя в формулу объема значения a и h, получим Для приближенного вычисления этого объема воспользуемся компьютерной программой Maple. Получим V = 0,162298…. Его отношение к объему единичного тетраэдра приближенно равно 1,377142…. Именно во столько раз увеличился объем тетраэдра при его деформации.

Выясним, можно ли деформировать тетраэдр так, чтобы получился многогранник с еще большим объемом. Для этого, как и раньше, обозначим x длину отрезка AA 1, но не будем предполагать, что длина отрезка A 1 B 1 равна 2x, а проведем вычисления его длины в общем случае. А именно, обозначим b длину отрезка A 1 B 1. Заметим, что радиус окружности, описанной около треугольника A 1 B 1 C 1, равен, а его сумма с отрезком AA 1 равна радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC, т.е. равна. Таким образом, имеем равенство, выражая из которого b, получим.

При соответствующей деформации тетраэдра получается невыпуклый многогранник, состоящий из шестиугольных пирамид и многогранника, гранями которого являются четыре основания этих пирамид и четыре правильных треугольника. Однако основания шестиугольных пирамид в общем случае не являются правильными шестиугольниками. Это будут шестиугольники, у которых три стороны равны b, три стороны равны a=2x и углы равны 120 о. Площадь S такого шестиугольника выражается формулой Для нахождения объема этой пирамиды заметим, что отрезок DA равен 0,5 и является высотой ее грани. Длина отрезка OA выражается формулой Высота h пирамиды выражается формулой Объем V 1 выражается формулой

Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре правильных шестиугольника и четыре правильных треугольника. Он получается из правильного тетраэдра с ребром b+2a отсечением от вершин правильных тетраэдров с ребром b. Следовательно, его объем V 2 выражается формулой Объем V невыпуклого многогранника равен 4V 1 + V 2. Подставляя вместо b, S и h их выражения через a, получим, что объем V искомого многогранника является функцией от a, где a изменяется от нуля до.

С помощью компьютерной программы Maple можно построить график этой функции и найти ее наибольшее значение. Оно приближенно равно 0, и принимается при a = 0, Отношение этого объема к объему исходного тетраэдра приближенно равно 1, Это немного больше, чем в случае, рассмотренном в математическом этюде об увеличении объема выпуклых многогранников.

Попробуйте самостоятельно выяснить, увеличивается ли объем тетраэдра, если продавить только одно его ребро.

Попробуйте самостоятельно провести деформации и вычисления объема для единичного куба.