Однородные тригонометрические уравнения ученика 11 А класса Сафарова Фаруха

Здесь мы вспомним тригонометрические уравнения специального вида, довольно часто встречающиеся на практике.

Определение asinx+bcosx=0 Уравнения вида asinx+bcosx=0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 Уравнения вида asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени

а b а=о bcosx=0 b=0 sinx=0 Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причем рассмотрим только самый общий случай, когда оба коэффициента а и b отличны от нуля, так как, если а=о, то уравнение принимает вид bcosx=0, а получившееся уравнение cosx=0 отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при b=0 получаем sinx=0, что тоже не требует отдельного обсуждения.

asinx+bcosx=0, где a0, b0. Разделив обе части уравнения почленно на cosx Итак, дано уравнение asinx+bcosx=0, где a0, b0. Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим: a asinx/cosx + bcosx/cosx = 0/cosx atgx+b=0 В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению: tgx= -b/a

cosx cosx=0. asinx+bcosx=0 asinx=0, sinx=0 а cosx=0 sinx=0, sinx cosx Но внимание! Вообще-то, делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль, потому что на нуль делить нельзя. Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае cosx отличен от нуля? Давайте проанализируем. Предположим, что cosx=0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0, то есть sinx=0 (коэффициент а не равен нулю по условию). Получается, что и cosx=0 и sinx=0, а это невозможно, так как sinx и cosx обращаются в нуль в различных точках. cosx Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx – вполне благополучная операция.

asinmx+bcosmx=0 x. Уравнение вида asinmx+bcosmx=0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Для их решения обе части уравнения делят почленно на cosmx.

Примеры 1. Решить уравнение 2sinx-3cosx=0 Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим 2tgx-3=0 tgx=3/2 x=arctg3/2 + πn, n Z Ответ: x=arctg3/2 + πn, n Z

2. Решить уравнение sin2x+cos2x=0 Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cos2x, получим tg2x+1=0, tg2x=-1 2x=-π/4+ πn, n Z x=- π/8+ πn/2, n Z Ответ: x=- π/8+ πn/2, n Z

asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0. Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0. а sin 2 x cosx cos 2 x Если коэффициент а отличен от нуля, то есть в уравнение содержится член sin 2 x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая, как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cosx не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на cos 2 x. asin 2 x/cos 2 x+bsinxcosx/cos 2 x+ccos 2 x/cos 2 x=0/cos 2 x atg 2 x+btgx+c=0 atg 2 x+btgx+c=0 z=tgx. Это квадратное уравнение относительно новой переменной z=tgx.

asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0а=0 asin 2 xbsinxcosx=0. Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 коэффициент а=0, то есть отсутствует член asin 2 x. Тогда уравнение принимает вид bsinxcosx=0. Это уравнение можно решить методом разложения на множители: cosx(bsinx+ccosx)=0 cosx=0 или bsinx+ccosx=0 cosx=0 или bsinx+ccosx=0 Получились два уравнения, которые мы умеем решать. c=0 asin 2 x+bsinxcosx=0 sinx Аналогично обстоит дело и в случае, когда c=0, то есть когда однородное уравнение принимает вид asin 2 x+bsinxcosx=0 (здесь можно вынести за скобки sinx). Фактически мы выработали алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени.

Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени Посмотреть, есть ли в уравнении член asin 2 x; Если этот член содержится, то есть а0, то уравнение решается делением обеих его частей на cos 2 x и последующим введением новой переменной z=tgx; Если этот член содержится, то есть а=0, то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx;

Так же обстоит дело и в однородном тригонометрическом уравнении второй степени вида asin 2 mx+bsinmxcosmx+ccos 2 mx=0

Примеры 1. Решить уравнение sin 2 x-3sinxcosx+2cos 2 x=0. Решение. sin 2 x-3sinxcosx+2cos 2 x=0 \ ÷ cos 2 x tg 2 x-3tgx+2=0 Введем новую переменную z=tgx z 2 -3z+2=0 z 1 =1, z 2 =2 tgx=1 tgx=2 x= π/4+ πn, n Z x=arctg2 + πn, n Z

2. Решить уравнение 3sinxcosx+cos 2 x=0. Решение. cosx(3sinx+cosx)=0 cosx=0 или 3sinx+cosx=0 \ ÷ cosx0 x= π/2+ πn, n Z 3tgx+1=0 tgx=-1/ 3 x=arctg(-1/ 3) + πn, n Z x=- π/6+ πn, n Z