ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕВКЛИДА Выполнил ученик 8 информационно-математического класса Скрипнюк Владислав Брянский городской лицей 1 имени А.С.Пушкина

Теорема. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны. Εν τοίς όρθογώνοις τριγωνοις τό άπό τής τήν όρθήν γωνίαν ύποτεινούσης πλευρας τετράγωνον ίσον έστι τοίς άπό ιων τήύ όρθήν γωνίαν περιεχουσων πλευρων τετραγώνοις. По Евклиду

Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах. С s АВ IК Н J Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. С s АВ IК Н J D E Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы

Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK, которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK. С s АВ IК Н J E D Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. С s АВ IК Н J D E Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы

AB=AK, AD=AC, равенство углов CAK и BAD легко доказать: САК= САВ+ ВАК BAD= CAB+ CAD (причем CAD= BAK=90). Теперь равенство этих треугольников очевидно. С s АВ IК Н J D E

Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично. С s АВ IК Н J F G D E

Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. С s АВ IК Н J F G D E