Площадь треугольника

I. Математический диктант Вариант 1 1. Параллелограммом называется … 2. Площадь ромба равна произведению его стороны на … 3. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на … 4. Ромб и квадрат имеют соответственно равные стороны, меньшую площадь имеет … 5. Диагональ единичного квадрата равна … 6. Площадь ромба со стороной 4 см и углом 60 равна … Вариант 2 1. Ромбом называется … 2. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на … 3. Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на … 4. Прямоугольник и параллелограмм имеют соответственно равные стороны, большую площадь имеет … 5. Диагональ квадрата равна см, площадь квадрата равна … 6. Площадь ромба со стороной 5 см и углом 150 равна …

Площадь треугольника Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Следствие 2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Пример 1 Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной a. Ответ:

Пример 2 Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника. Доказательство: Пусть CM – медиана треугольника ABC. Треугольники AMC и BMC имеют равные стороны AM = BM и общую высоту CH. Следовательно, их площади равны и треугольники равновелики.

Упражнение 1 На рисунке укажите равновеликие треугольники. Ответ: а), г), е), ж), з); б), д).

Упражнение 2 Две стороны треугольника равны 6 см и 5 см. Может ли его площадь быть равна: а) 10 см 2 ; б) 15 см 2 ; в) 20 см 2 ? Ответ: а) Да; б) да; в) нет.

Упражнение 3 Вычислите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 7 см; б) 1,2 м и 35 дм. Ответ: а) 14 см 2 ; б) 2,1 м 2.

Упражнение 4 Как изменится площадь треугольника, если: а) не изменяя его сторону, увеличить, опущенную на нее, высоту в два раза; б) не изменяя его высоты, уменьшить сторону, на которую она опущена, в три раза; в) одну сторону увеличить в четыре раза, а высоту, опущенную на нее, уменьшить в семь раз? Ответ: а) Увеличится в 2 раза; б) уменьшится в 3 раза; в) уменьшится в раза.

Упражнение 5 Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 3 см и 7 см, а угол между ними равен 30°. Ответ: 5,25 см 2.

Упражнение 6 Площадь треугольника равна 48 см 2. Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне, равной 32 см. Ответ: 3 см.

Упражнение 7 Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 200 см 2. Ответ: см.

Упражнение 8 Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника, отсекаемого его средней линией? Ответ: Одну четвертую.

Упражнение 9 В треугольнике проведены все средние линии. Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника, образованного этими линиями? Ответ: Одну четвертую.

Упражнение 10 Середины сторон параллелограмма последовательно соединены между собой. Какой получился четырехугольник и какова его площадь, если площадь данного параллелограмма равна 16 см 2 ? Ответ: Параллелограмм, 8 см 2.

Упражнение 11 Найдите геометрическое место вершин треугольников, равновеликих данному треугольнику и имеющих с ним одну общую сторону. Ответ: Две параллельные прямые.

Упражнение 12 В треугольнике АВС две стороны равны a и b. При каком угле между ними площадь треугольника будет наибольшей? Ответ: 90 о.

Упражнение 13 Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 м 2 ? Ответ: Да.

Упражнение 14 Будет ли площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей равносторонних треугольников, построенных на его катетах? Ответ: Да.