КОМБИНАТОРИКА Выполнила: ученица 11 класса МОШ I-III ступеней 2 Посадская Татьяна Учитель: Богомолова И.В.

Оглавление Что такое комбинаторика? Что такое комбинаторика? Что такое комбинаторика? Что такое комбинаторика? Факториал Факториал Факториал Перестановки. Размещения. Комбинации Перестановки. Размещения. Комбинации Перестановки. Размещения. Комбинации Перестановки. Размещения. Комбинации Правила суммы, произведения Правила суммы, произведения Правила суммы, произведения Правила суммы, произведения Примеры решения задач Примеры решения задач Примеры решения задач Примеры решения задач Выбор формулы Выбор формулы Выбор формулы Выбор формулы

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Комбинаторика - раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с данными условиями. Знание комбинаторики необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, криптографам и другим специалистам.

Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n! Читаем:n! n (эн) - факториалЧитаем:n! n! = 1 · 2 · 3 ·... · n

Перестановки. Размещения. Комбинации ОпределениеПример Перестановкой з n элементов называется любое упорядоченное множество (порядок элементов существенен), которое состоит из n элементов. Р n =n!, где Р n - число перестановок из n элементов. Сколькими способами можно расставить на полке 5 книжек? P 5 =5!=1*2*3*4*5=120 Размещением из m элементов по n называется любое упорядоченное подмножество из n элементов данного множества, которое содержит m элементов (nm). A n m -число размещений m элементов по n ячейкам Сколькими способами можно выбрать старосту класса и его заместителя, если в классе учатся 20 человек? Комбинацией из m элементов по n называется любое подмножество из n элементов (порядок элементов несущественен) данного множества, которое содержит m элементов (nm). где С n m - число комбинаций из m элементов по n ячейкам Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурный, если в классе учится 20 учеников?

Правило суммы. Правило произведения ОпределениеПример Правило суммы. Если элемент А можно выбрать m способами, а элемент В – n способами (при этом выбор элемента А исключает выбор и элемента В), то А и В можно выбрать (m+n) способами. Если в тарелке лежат 5 груш и 4 яблока, то выбрать один фрукт можно 9 способами (4+5=9). Правило произведения. Если элемент А можно выбрать m способами, а после этого элемент В – n способами, то А и В можно выбрать (m*n) способами. Если в канцелярском магазине продают ручки 5 видов и тетради 4 видов, то выбрать набор из ручки и тетради (т.е. пару – ручку и тетрадь) можно 5*4=20 способами, поскольку для каждой из 5 ручек можно взять любую из 4 тетрадей.

Задача 1 На завтрак Вова может выбрать: плюшку, бутерброд, пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком, кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака?

Ответ:15. Переберем все возможные варианты

Задача 2 Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трёх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику, при условии, что у каждой страны свой отличный от других стран флаг?

Ответ:6. ? ? ? ? ?? ? ? ? ??????

На соревнование по легкой атлетике приехала команда из 12- ти спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 по 100 м на первом, втором, третьем и четвертом местах? Задача 3

Поскольку тренеру важно, в каком порядке будут бежать спортсменки, то порядок при выборе элементов учитывается. Количество способов выбрать из 12 спортсменок 4 для участия в эстафете равна количеству размещений из 12 элементов по 4 (без повторений), т.е. Ответ:

Задача 4 Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?

Ответ: 15 чисел Переберем все возможные варианты І способ

Воспользуемся формулой комбинаций без повторений Поскольку нам необходимо составить двузначные числа, то они не могут начинаться на 0. Выбрать первую цифру из 5-ти можно способами. Чтобы число было четным, оно должно заканчиваться на 0, 2 или 4, т.е. четное число можно выбрать способами. Тогда по правилу произведения четные двузначные числа можно составить. Получаем ІI способ Ответ:15 чисел.

В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора? Задача 5

Ответ: 8 способов. Переберем все возможные варианты І способ

Воспользуемся правилом умножения Для каждой лампочки возможны два исхода, а лампочек три, значит: Ответ:8. Нам необходимо разместить 2 предмета по трем ячейкам, причем они могут повторяться. Имеем: Воспользуемся формулой размещений с повторениями ІІ способ ІІІ способ

Выберите правило 1. Из города А а город В ведут 5 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город С?5*3=15 2. На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 4 по геометрии и 5 по литературе. Сколькими способами можно взять с полки одну книгу по математике?4+3=7 3. В меню имеется 4 первых блюда, 3 – вторых, 2 – десерта. Сколько различных обедов можно из них составить?4*3*2=24

Да Нет Выбор формулы