УРОК 4. Элементы комбинаторики.. Задачи на непосредственный подсчет вероятностей Комбинаторика изучает количество комбинаций (подчиненное определенным. - презентация

1 УРОК 4. Элементы комбинаторики.

2 Задачи на непосредственный подсчет вероятностей Комбинаторика изучает количество комбинаций (подчиненное определенным условиям), которое можно составить из элементов некоторого заданного конечного множества. Определение. Размещениями называются комбинации, составленные из n различных по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Пусть {a 1,a 2,…,a n } – множество из n элементов. Тогда любое упорядоченное его подмножество из m элементов называется размещением из n элементов по m.

3 Например, рассмотрим множество A={1,2,3,,,,4,5}. Пусть m=3. Тогда можно рассмотреть следующие размещения из 5 элементов по 3: (1,3,5), (5,3,1), (4,2,1) и т.д. Найдем число размещений без повторений из n элементов некоторого множества по m. Первым элементом x 1 может стать любой элемент из n элементов заданного множества, то есть получаем n возможностей выбора. Если элемент x 1 уже выбран, то второй элемент x 2 можно выбрать уже n-1 способом, так как повторение первого элемента не допускается. Аналогично, при выбранных x 1 и x 2, третий элемент x 3 можно выбрать n-2 способами и т.д. вплоть до элемента x m.

4 Элемент x m можно выбрать n-(m-1) способами, так как до него уже выбраны первые m-1 элементы, ни один из которых не должен повториться. Тогда получаем, что число размещений из n элементов по m элементов выражается формулой: Определение. Перестановками называются комбинации, составленные из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. (или перестановка – это взаимно однозначное отображение множества первых n натуральных чисел в себя).

5 Замечание. 1) Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов. 2) Число всевозможных перестановок p n =n! Определение. Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Например, из множества {a,b,c,d,f} можно составить 10 сочетаний по 3 элемента в каждом: {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,f}, {a,c,d}, {a,c,f}, {a,d,f}, {b,c,d}, {b,c,f}, {b,d,f}, {c,d,f}.

6 Число сочетаний из n элементов по m элементов равно Примеры. 1.В классе 22 места. Сколькими способами можно рассадить 15 школьников? 2. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр {1,2,3,4,5}, так чтобы ни одна цифра не повторялась? P n =n!=5!=120.

7 3. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр {1,2,3,4,5}, так чтобы ни одна цифра не повторялась? 4) Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для соревнований по бегу, если имеется 7 бегунов. Замечание. Если бы команда выбиралась для эстафетного бега, то число способов выбора было бы равно так как играет роль порядок выбора спортсменов.

8 5) Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей. Свойства сочетаний.

9